Номер 5, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Как по графику функции найти область её значений? Приведите пример.

Как по графику функции найти область её значений?

Область значений функции, которая обозначается как $E(f)$ или $E(y)$, — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (ордината). Чтобы найти область значений функции по её графику, необходимо определить, какие значения по оси $OY$ «покрываются» графиком.

Простой алгоритм для нахождения области значений по графику:

1. Представьте, что вы «сплющиваете» (проецируете) весь график на вертикальную ось $OY$.
2. Тот участок или участки оси $OY$, на которые попала проекция графика, и составляют область значений функции.

На практике это означает следующее:

• Нужно найти самую нижнюю точку графика. Её координата по оси $Y$ будет наименьшим значением функции, $y_{min}$. Если график уходит вниз в бесконечность, то наименьшего значения не существует.
• Нужно найти самую высокую точку графика. Её координата по оси $Y$ будет наибольшим значением функции, $y_{max}$. Если график уходит вверх в бесконечность, то наибольшего значения не существует.
• Область значений — это все числа на оси $Y$ между $y_{min}$ и $y_{max}$ (включая или не включая границы, в зависимости от того, достигает ли их график). Например, если есть $y_{min}$, а вверх график уходит в бесконечность, то область значений будет $[y_{min}, +\infty)$. Если есть только $y_{max}$, а вниз график уходит в бесконечность, то область значений — $(-\infty, y_{max}]$.
• Если на графике есть «выколотые» точки, то соответствующие им значения по оси $Y$ нужно исключить из области значений.

Ответ: Чтобы найти область значений функции по её графику, необходимо спроецировать график на ось ординат ($OY$). Полученное на оси множество (отрезок, интервал, луч или их объединение) является областью значений. Это равносильно нахождению всех значений $y$ от наименьшего ($y_{min}$) до наибольшего ($y_{max}$), которые принимает функция.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 2x + 3$. Её график — это парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз.

2. Найдём вершину параболы. Это будет самая высокая точка графика. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$.
$x_0 = -2 / (2 \cdot (-1)) = 1$.

3. Найдём координату $y$ вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение функции:
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

4. Вершина параболы находится в точке $(1, 4)$. Так как ветви направлены вниз, это точка максимума. Наибольшее значение функции $y_{max} = 4$.

5. Поскольку ветви параболы уходят вниз неограниченно, наименьшего значения у функции не существует.

6. Таким образом, график функции «занимает» на оси $OY$ все значения от $4$ и до минус бесконечности.

На графике видно, что самая высокая точка имеет координату $y=4$, а вниз график простирается бесконечно.

Ответ: Область значений для функции $y = -x^2 + 2x + 3$ есть промежуток $E(y) = (-\infty, 4]$.