Номер 4, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Метод введения новых переменных является одним из эффективных способов решения сложных систем уравнений, особенно нелинейных. Суть метода заключается в том, чтобы заменить некоторые повторяющиеся или сложные выражения в уравнениях новыми переменными. Это позволяет свести исходную систему к более простому, стандартному виду (например, к линейной или простой квадратной системе), которую легко решить. После нахождения значений новых переменных производится обратная замена, чтобы найти значения исходных переменных.

Алгоритм решения систем уравнений методом введения новых переменных

1. Внимательно проанализировать систему уравнений и выявить в ней одинаковые или симметричные выражения, которые можно заменить.

2. Ввести новые переменные для этих выражений. Например, если в уравнениях есть дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$, можно обозначить их как $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$.

3. Составить новую систему уравнений, подставив в исходную систему новые переменные вместо соответствующих выражений.

4. Решить полученную более простую систему относительно введенных переменных (например, найти $u$ и $v$).

5. Выполнить обратную замену: подставить найденные значения новых переменных в равенства, связывающие их с исходными переменными.

6. Решить получившиеся после обратной замены простые уравнения или системы уравнений и найти значения исходных переменных ($x$ и $y$).

7. Записать ответ.

Пример 1.

Решить систему уравнений:$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} $$Решение:
Введем новые переменные: пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$.
Тогда система примет вид:$$ \begin{cases} u + v = \frac{5}{6} \\ u - v = \frac{1}{6} \end{cases} $$Это простая линейная система. Сложим два уравнения:$(u+v) + (u-v) = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}$
$2u = \frac{6}{6} = 1$
$u = \frac{1}{2}$
Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы:$\frac{1}{2} + v = \frac{5}{6}$
$v = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Теперь выполним обратную замену:$u = \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \implies x = 2$.
$v = \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3$.
Ответ: $(2; 3)$.

Пример 2.

Решить систему уравнений:$$ \begin{cases} x+y+xy = 5 \\ x+y-xy = 1 \end{cases} $$Решение:
Введем новые переменные: пусть $a = x+y$ и $b = xy$.
Система в новых переменных:$$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases} $$Сложим уравнения:$2a = 6 \implies a=3$.
Вычтем из первого уравнения второе:$2b = 4 \implies b=2$.
Выполним обратную замену, подставив найденные значения $a$ и $b$:$$ \begin{cases} x+y = 3 \\ xy = 2 \end{cases} $$По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1; 2)$ и $(2; 1)$.
Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

Пример 3.

Решить систему уравнений:$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{13}{6} \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$Решение:
Введем новую переменную $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.
Первое уравнение примет вид:$t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}$
Умножим обе части на $6t$ (при условии $t \neq 0$):$6t^2 + 6 = 13t$
$6t^2 - 13t + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.
Корни: $t_1 = \frac{13 - \sqrt{25}}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$; $t_2 = \frac{13 + \sqrt{25}}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
Рассмотрим два случая:
1) $t = \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3}y$. Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{2}{3}y)^2 + y^2 = 13$
$\frac{4}{9}y^2 + y^2 = 13$
$\frac{13}{9}y^2 = 13 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.
Если $y=3$, то $x = \frac{2}{3}(3) = 2$. Решение: $(2; 3)$.
Если $y=-3$, то $x = \frac{2}{3}(-3) = -2$. Решение: $(-2; -3)$.
2) $t = \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y$. Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{3}{2}y)^2 + y^2 = 13$
$\frac{9}{4}y^2 + y^2 = 13$
$\frac{13}{4}y^2 = 13 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
Если $y=2$, то $x = \frac{3}{2}(2) = 3$. Решение: $(3; 2)$.
Если $y=-2$, то $x = \frac{3}{2}(-2) = -3$. Решение: $(-3; -2)$.
Ответ: $(2; 3), (-2; -3), (3; 2), (-3; -2)$.