Номер 3, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Дана функция $y = x^2$, $x \in [1; 3]$. Какова её область определения? Какова её область значений?

Область определения

Область определения функции (обозначается как $D(y)$ или $D(f)$) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. В данном случае, в условии задачи уже указано, что аргумент $x$ принадлежит отрезку $[1; 3]$. Это и есть область определения для рассматриваемой функции.

Ответ: $D(y) = [1; 3]$.

Область значений

Область значений функции (обозначается как $E(y)$ или $E(f)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$ на её области определения.

Наша функция — это $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=x^2$ является монотонно возрастающей. Так как заданный отрезок $x \in [1; 3]$ полностью входит в этот промежуток, то на отрезке $[1; 3]$ функция также монотонно возрастает.

Это означает, что наименьшее значение функция примет в наименьшей точке области определения, а наибольшее значение — в наибольшей.

1. Найдем наименьшее значение функции на отрезке $[1; 3]$. Для этого подставим $x = 1$ в формулу функции:
$y_{min} = 1^2 = 1$.

2. Найдем наибольшее значение функции на отрезке $[1; 3]$. Для этого подставим $x = 3$ в формулу функции:
$y_{max} = 3^2 = 9$.

Поскольку функция непрерывна и монотонна на заданном отрезке, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[1; 9]$.

Ответ: $E(y) = [1; 9]$.