Номер 2, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что такое естественная область определения функции? Укажите естественную область определения функции:

а) $y = x^2$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Естественная область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$), при которых данная функция имеет смысл (определена). То есть, это все значения $x$, для которых можно выполнить все математические операции, указанные в формуле функции, и получить в результате действительное число.
Основные условия, которые накладывают ограничения на область определения:

• Если в выражении есть дробь, её знаменатель не может быть равен нулю.
• Если в выражении есть корень четной степени (например, квадратный), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
• Если в выражении есть логарифм, то выражение под его знаком должно быть строго положительным.

а) Для функции $y = x^2$.
Это полиномиальная (квадратичная) функция. Операция возведения в квадрат определена для любого действительного числа $x$. Ограничений на переменную $x$ нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{x}$.
Функция содержит арифметический квадратный корень. Область определения арифметического квадратного корня — это множество неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:
$x \ge 0$.
Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Эта функция определена, если одновременно выполняются два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{x} \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.