Номер 5, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Расскажите, в чём суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными. В каких двух вариантах он применяется? В качестве иллюстрации используйте системы уравнений, решённые в примерах 3 и 4.

Суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными состоит в замене некоторых выражений, содержащих исходные переменные (например, $x$ и $y$), на новые (вспомогательные) переменные (например, $a$ и $b$). Цель этой замены — преобразовать исходную сложную систему в более простую, стандартную систему относительно новых переменных. Эту новую систему решают известными методами (например, как линейную или квадратную). После нахождения значений вспомогательных переменных выполняют обратную замену, то есть возвращаются к исходным переменным, и находят их значения.

Метод введения новых переменных применяется в различных ситуациях, но можно выделить два основных варианта:

1. Решение симметричных систем. Система называется симметричной, если она не изменяется при замене переменных местами (т.е. $x$ на $y$ и $y$ на $x$). В таких системах удобно вводить новые переменные для так называемых элементарных симметрических многочленов: $a = x+y$ и $b = xy$.
2. Сведение нелинейной системы к линейной. Если в обоих уравнениях системы повторяются какие-либо сложные выражения (например, дроби, степени, корни), их можно заменить новыми переменными. Часто такая замена позволяет получить простую линейную систему относительно новых переменных, которую легко решить.

В качестве иллюстрации используем системы, аналогичные тем, что решаются в примерах 3 и 4.

Иллюстрация для первого варианта (по типу примера 3)

Рассмотрим симметричную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x+y-xy = 1 \\ (x+y)xy = 6 \end{cases} $$

Введём новые переменные: пусть $a=x+y$ и $b=xy$. Тогда система примет следующий вид:

$$ \begin{cases} a-b=1 \\ ab=6 \end{cases} $$

Это простая система, которую можно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1+b$. Подставим во второе уравнение:

$(1+b)b = 6$

$b^2+b-6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = -3$ и $b_2 = 2$.

Найдём соответствующие значения $a$:

• Если $b_1 = -3$, то $a_1 = 1+(-3) = -2$.
• Если $b_2 = 2$, то $a_2 = 1+2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену для каждой найденной пары $(a, b)$.

Случай 1: $a=-2, b=-3$.

$$ \begin{cases} x+y=-2 \\ xy=-3 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-2)t + (-3) = 0$, то есть $t^2+2t-3=0$. Корни этого уравнения: $t_1=1, t_2=-3$. Таким образом, получаем две пары решений: $(1, -3)$ и $(-3, 1)$.

Случай 2: $a=3, b=2$.

$$ \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Его корни: $t_1=1, t_2=2$. Получаем ещё две пары решений: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 1), (1, 2), (2, 1)$.

Иллюстрация для второго варианта (по типу примера 4)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x-1} + \frac{2}{y+1} = 2 \\ \frac{3}{x-1} - \frac{1}{y+1} = \frac{3}{2} \end{cases} $$

В уравнениях повторяются выражения $\frac{1}{x-1}$ и $\frac{1}{y+1}$. Введём новые переменные: пусть $a=\frac{1}{x-1}$ и $b=\frac{1}{y+1}$.

Получим линейную систему относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a + 2b = 2 \\ 3a - b = \frac{3}{2} \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим второе уравнение на 2, чтобы использовать метод сложения:

$$ \begin{cases} a + 2b = 2 \\ 6a - 2b = 3 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(a+2b) + (6a-2b) = 2+3$, что даёт $7a=5$, откуда $a=\frac{5}{7}$.

Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$\frac{5}{7} + 2b = 2$

$2b = 2 - \frac{5}{7} = \frac{14-5}{7} = \frac{9}{7}$

$b = \frac{9}{14}$

Теперь выполним обратную замену:

$$ \begin{cases} a = \frac{1}{x-1} = \frac{5}{7} \\ b = \frac{1}{y+1} = \frac{9}{14} \end{cases} \implies \begin{cases} 5(x-1) = 7 \\ 9(y+1) = 14 \end{cases} $$

Решим получившиеся простые линейные уравнения:

• $5x-5=7 \implies 5x=12 \implies x=\frac{12}{5}=2.4$
• $9y+9=14 \implies 9y=5 \implies y=\frac{5}{9}$

Ответ: $(\frac{12}{5}, \frac{5}{9})$.