Номер 5, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Укажите, какие из представленных ниже соотношений являются истинными высказываниями, а какие — ложными:

а) $3,5 \in Q$;

б) $3,5 \in Z$;

в) $Q \subset Z$;

г) $Z \subset Q$;

д) $0 \in N$;

е) $0 \in Z$;

ж) $0 \in Q$;

з) $(-2; 0) \in [-2; 0]$;

и) $(-2; 0) \subset [-2; 0]$;

к) $(2; 5] \subset [2; 5)$;

л) $(2; 5] \not\subset [2; 5)$;

м) $(2; 5] \subset [2; 5]$;

н) $(2; 5] \not\subset [2; 5]$.

а) Высказывание $3,5 \in \mathbb{Q}$ утверждает, что число 3,5 принадлежит множеству рациональных чисел $(\mathbb{Q})$. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Число 3,5 можно записать как дробь $35/10$ или, после сокращения, $7/2$. Так как 7 и 2 — целые числа и знаменатель не равен нулю, 3,5 является рациональным числом. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

б) Высказывание $3,5 \in \mathbb{Z}$ утверждает, что число 3,5 принадлежит множеству целых чисел $(\mathbb{Z})$. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля $(\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots)$. Число 3,5 не является целым. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

в) Высказывание $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$ утверждает, что множество рациональных чисел является подмножеством множества целых чисел. Это означало бы, что каждое рациональное число является целым. Однако, как мы видели в пункте а), число 3,5 — рациональное, но, как мы видели в пункте б), оно не является целым. Значит, не все рациональные числа являются целыми. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

г) Высказывание $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ утверждает, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Это означает, что любое целое число является также и рациональным. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $z/1$. Это представление соответствует определению рационального числа. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

д) Высказывание $0 \in \mathbb{N}$ утверждает, что 0 принадлежит множеству натуральных чисел $(\mathbb{N})$. В стандартном определении, принятом в российской школьной программе, множество натуральных чисел — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \dots$. Ноль в это множество не входит. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

е) Высказывание $0 \in \mathbb{Z}$ утверждает, что 0 принадлежит множеству целых чисел. По определению, множество целых чисел включает ноль. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

ж) Высказывание $0 \in \mathbb{Q}$ утверждает, что 0 принадлежит множеству рациональных чисел. Ноль можно представить в виде дроби, например, $0/1$. Это соответствует определению рационального числа. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

з) Высказывание $(-2; 0) \in [-2; 0]$ утверждает, что интервал $(-2; 0)$ является элементом отрезка $[-2; 0]$. Знак $\in$ означает принадлежность элемента множеству. Элементами множества $[-2; 0]$ являются числа (например, $-1,5$ или $0$), а не другие множества (интервалы). Интервал $(-2; 0)$ — это множество, а не число. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

и) Высказывание $(-2; 0) \subset [-2; 0]$ утверждает, что интервал $(-2; 0)$ является подмножеством отрезка $[-2; 0]$. Это означает, что любой элемент из интервала $(-2; 0)$ также содержится в отрезке $[-2; 0]$. Интервал $(-2; 0)$ — это множество всех чисел $x$, таких что $-2 < x < 0$. Отрезок $[-2; 0]$ — это множество всех чисел $x$, таких что $-2 \le x \le 0$. Любое число, удовлетворяющее условию $-2 < x < 0$, также удовлетворяет и условию $-2 \le x \le 0$. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

к) Высказывание $(2; 5] \subset [2; 5)$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ является подмножеством полуинтервала $[2; 5)$. Полуинтервал $(2; 5]$ включает число 5. Полуинтервал $[2; 5)$ включает все числа от 2 (включительно) до 5 (не включая 5). Поскольку число 5 принадлежит множеству $(2; 5]$, но не принадлежит множеству $[2; 5)$, то первое множество не является подмножеством второго. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

л) Высказывание $(2; 5] \not\subset [2; 5)$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ не является подмножеством полуинтервала $[2; 5)$. Как было показано в предыдущем пункте, число 5 является элементом множества $(2; 5]$, но не является элементом множества $[2; 5)$. Это доказывает, что $(2; 5]$ не является подмножеством $[2; 5)$. Следовательно, данное высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

м) Высказывание $(2; 5] \subset [2; 5]$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ является подмножеством отрезка $[2; 5]$. Множество $(2; 5]$ содержит все числа $x$, такие что $2 < x \le 5$. Множество $[2; 5]$ содержит все числа $x$, такие что $2 \le x \le 5$. Любое число, удовлетворяющее первому условию, удовлетворяет и второму. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

н) Высказывание $(2; 5] \not\subset [2; 5]$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ не является подмножеством отрезка $[2; 5]$. В предыдущем пункте мы установили, что $(2; 5]$ является подмножеством $[2; 5]$. Таким образом, утверждение о том, что оно не является подмножеством, ложно.
Ответ: Ложное.