Номер 9, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$.

Алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$

Решение квадратного неравенства основывается на графическом методе с использованием свойств квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является парабола. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Нахождение нулей функции. Необходимо найти значения $x$, при которых функция равна нулю. Для этого решается соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.

а) Вычисляется дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

б) Анализируется знак дискриминанта и находятся корни (если они существуют):

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. Парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в двух точках.

• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси $Ox$ в одной точке (в своей вершине).

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$ и полностью расположена либо выше, либо ниже нее.

2. Определение направления ветвей параболы. Направление ветвей определяется знаком старшего коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Схематическое изображение параболы. На числовой оси отмечаются найденные нули функции. Учитывая направление ветвей, рисуется эскиз графика параболы относительно оси $Ox$.

4. Определение знаков функции на интервалах. По эскизу графика определяются интервалы, на которых функция $y$ принимает положительные значения (то есть, где график параболы расположен выше оси $Ox$). Эти интервалы и будут решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$.

5. Запись ответа. Полученные промежутки записываются в виде объединения интервалов.

Ответ: Описанный выше пошаговый процесс, включающий нахождение корней квадратного трехчлена, определение направления ветвей параболы и анализ ее расположения относительно оси абсцисс, является искомым алгоритмом.

Применение алгоритма для решения неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$

Решим данное неравенство, следуя описанному алгоритму.

1. Находим нули функции $y = x^2 - 4x + 3$. Для этого решаем уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$.

2. Определяем направление ветвей параболы.

Старший коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Схематически изображаем параболу.

Отмечаем на числовой оси точки $1$ и $3$. Через них проводим параболу с ветвями, направленными вверх. Парабола будет находиться ниже оси $Ox$ на интервале $(1; 3)$ и выше оси $Ox$ на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; \infty)$.

4. Выбираем нужные промежутки.

Мы ищем решения неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$, то есть те значения $x$, при которых график функции находится выше оси $Ox$.

Согласно нашему эскизу, это происходит при $x < 1$ или при $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.