Номер 7, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Объясните, почему преобразование неравенства $\frac{2x - 1}{3x + 5} < 1$ к виду $2x - 1 < 3x + 5$ не является равносильным преобразованием, а замена неравенства $\frac{2x - 1}{3x^2 + 5} < 1$ неравенством $2x - 1 < 3x^2 + 5$ является равносильным преобразованием.

...почему преобразование неравенства $\frac{2x-1}{3x+5} < 1$ к виду $2x-1 < 3x+5$ не является равносильным преобразованием

Данное преобразование заключается в умножении обеих частей неравенства на знаменатель $3x+5$. При решении неравенств умножение обеих частей на выражение, содержащее переменную, является равносильным преобразованием только в том случае, если это выражение сохраняет свой знак на всей области допустимых значений переменной.

Рассмотрим знак выражения $3x+5$:

1. Если $x > -5/3$, то $3x+5 > 0$. В этом случае при умножении на $3x+5$ знак неравенства сохранится: $2x-1 < 3x+5$.

2. Если $x < -5/3$, то $3x+5 < 0$. В этом случае при умножении на $3x+5$ знак неравенства должен измениться на противоположный: $2x-1 > 3x+5$.

Поскольку знак выражения $3x+5$ меняется в зависимости от значения $x$, нельзя просто умножить на него обе части неравенства, сохранив знак. Такое действие не является равносильным, так как оно не учитывает случай, когда знаменатель отрицателен, что приводит к изменению множества решений (потере или приобретению корней).

Ответ: Преобразование не является равносильным, так как умножение обеих частей неравенства выполнено на выражение $3x+5$, которое может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это требует рассмотрения двух отдельных случаев (с сохранением и с изменением знака неравенства), что не было сделано.

...а замена неравенства $\frac{2x-1}{3x^2+5} < 1$ неравенством $2x-1 < 3x^2+5$ является равносильным преобразованием

В данном случае преобразование также заключается в умножении обеих частей неравенства на знаменатель $3x^2+5$.

Проанализируем знак выражения $3x^2+5$. Для любого действительного числа $x$ квадрат этого числа $x^2$ является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Следовательно, $3x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 5, результат всегда будет положительным: $3x^2+5 \ge 5$.

Таким образом, выражение в знаменателе $3x^2+5$ является строго положительным при любом значении переменной $x$.

Согласно правилам преобразования неравенств, умножение обеих частей на строго положительное число (или выражение) является равносильным преобразованием. Знак неравенства при этом не меняется. Следовательно, множества решений исходного и полученного неравенств полностью совпадают.

Ответ: Преобразование является равносильным, так как умножение обеих частей неравенства происходит на выражение $3x^2+5$, которое строго положительно при любых действительных значениях $x$.