Номер 12, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a < 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

а) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$;

г) $ax^2 + bx + c \le 0$?

Рассмотрим свойства квадратичного трёхчлена $f(x) = ax^2 + bx + c$ при заданных условиях.

1. Условие $a < 0$ означает, что график функции $y = ax^2 + bx + c$ — это парабола, ветви которой направлены вниз.

2. Условие $D < 0$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант, означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$).

Совместив эти два условия, мы получаем параболу, ветви которой направлены вниз и которая целиком расположена ниже оси $Ox$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение трёхчлена $ax^2 + bx + c$ будет отрицательным. То есть, $ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

Исходя из этого, решим каждое неравенство.

а) $ax^2 + bx + c > 0$

Поскольку мы установили, что значение трёхчлена $ax^2 + bx + c$ всегда отрицательно при любых $x$, оно никогда не может быть больше нуля. Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \varnothing$).

б) $ax^2 + bx + c < 0$

Как было показано выше, при заданных условиях ($a < 0$ и $D < 0$) парабола полностью лежит ниже оси $Ox$. Это означает, что значение трёхчлена отрицательно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in (-\infty; +\infty)$).

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$

Это неравенство требует, чтобы трёхчлен был больше или равен нулю. Мы знаем, что он всегда строго меньше нуля. Он не может быть ни положительным, ни равным нулю (равенство нулю было бы возможно только при $D \ge 0$). Значит, это неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \varnothing$).

г) $ax^2 + bx + c \le 0$

Это неравенство требует, чтобы трёхчлен был меньше или равен нулю. Поскольку значение трёхчлена всегда отрицательно, оно всегда удовлетворяет условию "меньше или равно нулю". Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in (-\infty; +\infty)$).