Номер 11, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a > 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

а) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \geq 0$;

г) $ax^2 + bx + c \leq 0$?

Для анализа решений неравенств рассмотрим свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. По условию, старший коэффициент $a > 0$. Это означает, что ветви параболы, которая является графиком этой функции, направлены вверх.

2. По условию, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$). Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Графически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Совокупность этих двух условий (ветви вверх и отсутствие точек пересечения с осью Ox) однозначно определяет, что вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, для любого действительного значения $x$ значение трёхчлена $ax^2 + bx + c$ будет строго положительным.

Исходя из этого вывода, решим каждое неравенство.

а) $ax^2 + bx + c > 0$
Поскольку, как мы установили, трёхчлен $ax^2 + bx + c$ положителен при любом значении $x$, данное неравенство выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $ax^2 + bx + c < 0$
Так как трёхчлен $ax^2 + bx + c$ всегда положителен, он никогда не может быть отрицательным. Следовательно, у данного неравенства нет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$
Это неравенство означает, что $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c = 0$. Мы знаем, что $ax^2 + bx + c > 0$ для всех $x$, а равенство нулю невозможно ($D < 0$). Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $ax^2 + bx + c \le 0$
Это неравенство означает, что $ax^2 + bx + c < 0$ или $ax^2 + bx + c = 0$. Как было показано в предыдущих пунктах, ни одно из этих условий не может быть выполнено. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).