Номер 9.11, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9.11 Решите графически уравнение:

а) $-x^2 + 4 = (x - 2)^2;$

б) $x + 1 = (x - 1)^2;$

в) $x^2 - 4 = -(x + 2)^2;$

г) $x^2 - 3 = \sqrt{x - 1}.$

Для графического решения уравнения необходимо построить графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения.

а) $-x^2 + 4 = (x - 2)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = -x^2 + 4$ и $y = (x - 2)^2$.

1. График функции $y = -x^2 + 4$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Она получена из графика $y = -x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.

2. График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(2; 0)$.

Построим графики. Для $y = -x^2 + 4$ найдем несколько точек: если $x=0, y=4$; если $x=2, y=0$; если $x=-2, y=0$. Для $y = (x-2)^2$: если $x=2, y=0$; если $x=0, y=4$; если $x=1, y=1$.

Графики пересекаются в двух точках. По построенным графикам определяем их координаты: $(0; 4)$ и $(2; 0)$. Абсциссы этих точек равны $0$ и $2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

б) $x + 1 = (x - 1)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x + 1$ и $y = (x - 1)^2$.

1. График функции $y = x + 1$ — это прямая линия. Для построения достаточно двух точек, например, $(0; 1)$ и $(-1; 0)$.

2. График функции $y = (x - 1)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(1; 0)$.

Построим графики. Для $y = (x - 1)^2$ найдем несколько точек: если $x=1, y=0$; если $x=0, y=1$; если $x=2, y=1$; если $x=3, y=4$. Прямая $y=x+1$ проходит через точки $(0; 1)$ и $(3; 4)$.

Графики пересекаются в двух точках. По построенным графикам определяем их координаты: $(0; 1)$ и $(3; 4)$. Абсциссы этих точек равны $0$ и $3$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 3$.

в) $x^2 - 4 = -(x + 2)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 4$ и $y = -(x + 2)^2$.

1. График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.

2. График функции $y = -(x + 2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Она получена из графика $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы влево по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(-2; 0)$.

Построим графики. Для $y = x^2 - 4$ найдем несколько точек: если $x=0, y=-4$; если $x=2, y=0$; если $x=-2, y=0$. Для $y = -(x+2)^2$: если $x=-2, y=0$; если $x=0, y=-4$; если $x=-1, y=-1$.

Графики пересекаются в двух точках. По построенным графикам определяем их координаты: $(-2; 0)$ и $(0; -4)$. Абсциссы этих точек равны $-2$ и $0$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0$.

г) $x^2 - 3 = \sqrt{x - 1}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 3$ и $y = \sqrt{x - 1}$.

1. График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$.

2. График функции $y = \sqrt{x - 1}$ — это ветвь параболы, симметричная графику $y = x^2$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$ и сдвинутая на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Область определения этой функции $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. График начинается в точке $(1; 0)$.

Построим графики. Для $y = x^2 - 3$ возьмем точки: $(1; -2)$, $(2; 1)$, $(0; -3)$. Для $y = \sqrt{x-1}$ возьмем точки: $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(5; 2)$.

Графики пересекаются в одной точке. По построенным графикам определяем ее координаты: $(2; 1)$. Абсцисса этой точки равна $2$.

Ответ: $x = 2$.