Номер 9.12, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9.12 Решите графически уравнение:

а) $|x| = (x - 1)^2 - 1;$

б) $\sqrt{x + 3} = -1 - x;$

в) $|x| = -(x + 2)^2 + 2;$

г) $\sqrt{x - 1} = 3 - x.$

а) $|x| = (x-1)^2 - 1$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = |x|$ и $y_2 = (x-1)^2 - 1$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = |x|$ — это объединение двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y_2 = (x-1)^2 - 1$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$, а ветви направлены вверх. Парабола проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Первая точка пересечения — начало координат $(0, 0)$. Для нахождения второй точки заметим, что при $x=3$ получаем $y_1 = |3| = 3$ и $y_2 = (3-1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Следовательно, вторая точка пересечения — $(3, 3)$.

Абсциссы точек пересечения — это $x=0$ и $x=3$.

Ответ: $0; 3$.

б) $\sqrt{x+3} = -1-x$

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \sqrt{x+3}$ и $y_2 = -1-x$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x+3}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox. Область определения функции: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. График начинается в точке $(-3, 0)$ и проходит через точки $(-2, 1)$ и $(1, 2)$.

2. График функции $y_2 = -1-x$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек, например, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Построим графики. Мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из графиков видно, что координаты точки пересечения — $(-2, 1)$.

Проверим: при $x=-2$ левая часть уравнения равна $\sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1$, а правая часть равна $-1-(-2) = -1+2 = 1$. Равенство верно.

Абсцисса точки пересечения равна -2.

Ответ: $-2$.

в) $|x| = -(x+2)^2 + 2$

Решим уравнение графически, построив в одной системе координат графики функций $y_1 = |x|$ и $y_2 = -(x+2)^2 + 2$. Абсциссы точек пересечения будут решениями.

1. График функции $y_1 = |x|$ — "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y_2 = -(x+2)^2 + 2$ — это парабола, полученная из графика $y=-x^2$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$, а ветви направлены вниз.

Построим графики. Графики пересекаются в двух точках.
— Проверим точку $(-1, 1)$: $y_1 = |-1| = 1$; $y_2 = -(-1+2)^2+2 = -1^2+2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является точкой пересечения.
— Проверим точку $(-2, 2)$: $y_1 = |-2| = 2$; $y_2 = -(-2+2)^2+2 = 0+2 = 2$. Точка $(-2, 2)$, вершина параболы, также является точкой пересечения.

Абсциссы точек пересечения равны -1 и -2.

Ответ: $-2; -1$.

г) $\sqrt{x-1} = 3-x$

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = 3-x$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x-1}$ — это верхняя ветвь параболы, полученная из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox. Область определения: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. График начинается в точке $(1, 0)$ и проходит через точки $(2, 1)$ и $(5, 2)$.

2. График функции $y_2 = 3-x$ — это прямая линия, проходящая через точки $(3, 0)$ и $(0, 3)$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке с координатами $(2, 1)$.

Проверим: при $x=2$ левая часть равна $\sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$, а правая часть равна $3-2=1$. Равенство верно.

Абсцисса точки пересечения равна 2.

Ответ: $2$.