Номер 9.15, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9.15 Задайте формулой $y = ax^2 + bx + c$ функцию, график которой изображён:

а) на рис. 37;

б) на рис. 38;

в) на рис. 39;

г) на рис. 40.

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

а) График функции — парабола, заданная уравнением $y = ax^2 + bx + c$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Это означает, что уравнение можно записать в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины. Подставив координаты вершины, получаем: $y = a(x - 0)^2 - 1$ или $y = ax^2 - 1$. Чтобы найти коэффициент $a$, выберем на графике точку, через которую проходит парабола, например, точку $(1, 1)$. Подставим её координаты в уравнение: $1 = a \cdot 1^2 - 1$. Отсюда $1 = a - 1$, следовательно $a = 2$. Таким образом, искомая формула: $y = 2x^2 - 1$.

Ответ: $y = 2x^2 - 1$.

б) График функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Используем вершинную формулу параболы: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Подставив координаты вершины, получаем: $y = a(x - (-1))^2 - 1$ или $y = a(x + 1)^2 - 1$. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(0, -3)$. Подставим её координаты в уравнение: $-3 = a(0 + 1)^2 - 1$. Отсюда $-3 = a - 1$, следовательно $a = -2$. Теперь запишем уравнение в виде $y = ax^2 + bx + c$.
$y = -2(x + 1)^2 - 1 = -2(x^2 + 2x + 1) - 1 = -2x^2 - 4x - 2 - 1 = -2x^2 - 4x - 3$.
Искомая формула: $y = -2x^2 - 4x - 3$.

Ответ: $y = -2x^2 - 4x - 3$.

в) График функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Уравнение параболы: $y = a(x - 0)^2 + 4$ или $y = ax^2 + 4$. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(1, 1)$. Подставим её координаты в уравнение: $1 = a \cdot 1^2 + 4$. Отсюда $1 = a + 4$, следовательно $a = -3$. Таким образом, искомая формула: $y = -3x^2 + 4$.

Ответ: $y = -3x^2 + 4$.

г) График функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$. Уравнение параболы: $y = a(x - 2)^2 + 0$ или $y = a(x - 2)^2$. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(3, 3)$. Подставим её координаты в уравнение: $3 = a(3 - 2)^2$. Отсюда $3 = a \cdot 1^2$, следовательно $a = 3$. Теперь запишем уравнение в виде $y = ax^2 + bx + c$.
$y = 3(x - 2)^2 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12$.
Искомая формула: $y = 3x^2 - 12x + 12$.

Ответ: $y = 3x^2 - 12x + 12$.