Номер 10.1, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает:

10.1 а) $y=5x;$

б) $y=2x+3;$

в) $y=2x-3;$

г) $y=\frac{x}{2}+4.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Воспользуемся свойствами числовых неравенств.

а) $y = 5x$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Выразим значения функции: $y_1 = 5x_1$ и $y_2 = 5x_2$. Возьмем исходное неравенство $x_2 > x_1$ и умножим обе его части на положительное число 5. Согласно свойству числовых неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства не меняется: $5x_2 > 5x_1$ Так как $y_2 = 5x_2$ и $y_1 = 5x_1$, мы получаем: $y_2 > y_1$ Это доказывает, что функция $y = 5x$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.

б) $y = 2x + 3$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Значения функции: $y_1 = 2x_1 + 3$ и $y_2 = 2x_2 + 3$. Начнем с неравенства $x_2 > x_1$. 1. Умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства сохранится: $2x_2 > 2x_1$ 2. Прибавим к обеим частям неравенства число 3. Знак неравенства также сохранится: $2x_2 + 3 > 2x_1 + 3$ Следовательно, мы получили $y_2 > y_1$. Это доказывает, что функция $y = 2x + 3$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.

в) $y = 2x - 3$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Значения функции: $y_1 = 2x_1 - 3$ и $y_2 = 2x_2 - 3$. Начнем с неравенства $x_2 > x_1$. 1. Умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства сохранится: $2x_2 > 2x_1$ 2. Вычтем из обеих частей неравенства число 3 (что эквивалентно прибавлению -3). Знак неравенства сохранится: $2x_2 - 3 > 2x_1 - 3$ Следовательно, мы получили $y_2 > y_1$. Это доказывает, что функция $y = 2x - 3$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.

г) $y = \frac{x}{2} + 4$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Значения функции: $y_1 = \frac{x_1}{2} + 4$ и $y_2 = \frac{x_2}{2} + 4$. Начнем с неравенства $x_2 > x_1$. 1. Разделим обе части на положительное число 2 (что эквивалентно умножению на $\frac{1}{2}$). Знак неравенства сохранится: $\frac{x_2}{2} > \frac{x_1}{2}$ 2. Прибавим к обеим частям неравенства число 4. Знак неравенства сохранится: $\frac{x_2}{2} + 4 > \frac{x_1}{2} + 4$ Следовательно, мы получили $y_2 > y_1$. Это доказывает, что функция $y = \frac{x}{2} + 4$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.