Номер 10.19, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.19 a) $y = \frac{x-5}{x+3}$, $x > -3$;

В) $y = \frac{x+3}{1-x}$, $x > 1$;

Б) $y = \frac{3-2x}{1-x}$, $x < 1$;

Г) $y = \frac{6-4x}{2-x}$, $x < 2$.

Дана функция $y = \frac{x-5}{x+3}$ с областью определения $x > -3$. Чтобы найти множество значений функции, выразим переменную $x$ через $y$.

$y(x+3) = x-5$

$yx + 3y = x - 5$

$yx - x = -3y - 5$

$x(y-1) = -3y - 5$

Если $y \neq 1$, то $x = \frac{-3y-5}{y-1} = \frac{3y+5}{1-y}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x > -3$.

$\frac{3y+5}{1-y} > -3$

$\frac{3y+5}{1-y} + 3 > 0$

$\frac{3y+5 + 3(1-y)}{1-y} > 0$

$\frac{3y+5+3-3y}{1-y} > 0$

$\frac{8}{1-y} > 0$

Так как числитель $8$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен:

$1-y > 0$, что равносильно $y < 1$.

Ответ: $y \in (-\infty; 1)$.

Дана функция $y = \frac{3-2x}{1-x}$ с областью определения $x < 1$. Выразим $x$ через $y$:

$y(1-x) = 3-2x$

$y-yx = 3-2x$

$2x-yx = 3-y$

$x(2-y) = 3-y$

Если $y \neq 2$, то $x = \frac{3-y}{2-y}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x < 1$.

$\frac{3-y}{2-y} < 1$

$\frac{3-y}{2-y} - 1 < 0$

$\frac{3-y - (2-y)}{2-y} < 0$

$\frac{3-y-2+y}{2-y} < 0$

$\frac{1}{2-y} < 0$

Так как числитель $1$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицателен:

$2-y < 0$, что равносильно $y > 2$.

Ответ: $y \in (2; +\infty)$.

Дана функция $y = \frac{x+3}{1-x}$ с областью определения $x > 1$. Выразим $x$ через $y$:

$y(1-x) = x+3$

$y-yx = x+3$

$y-3 = x+yx$

$y-3 = x(1+y)$

Если $y \neq -1$, то $x = \frac{y-3}{y+1}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x > 1$.

$\frac{y-3}{y+1} > 1$

$\frac{y-3}{y+1} - 1 > 0$

$\frac{y-3 - (y+1)}{y+1} > 0$

$\frac{y-3-y-1}{y+1} > 0$

$\frac{-4}{y+1} > 0$

Так как числитель $-4$ отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть отрицателен:

$y+1 < 0$, что равносильно $y < -1$.

Ответ: $y \in (-\infty; -1)$.

Дана функция $y = \frac{6-4x}{2-x}$ с областью определения $x < 2$. Выразим $x$ через $y$:

$y(2-x) = 6-4x$

$2y-yx = 6-4x$

$4x-yx = 6-2y$

$x(4-y) = 6-2y$

Если $y \neq 4$, то $x = \frac{6-2y}{4-y}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x < 2$.

$\frac{6-2y}{4-y} < 2$

$\frac{6-2y}{4-y} - 2 < 0$

$\frac{6-2y - 2(4-y)}{4-y} < 0$

$\frac{6-2y-8+2y}{4-y} < 0$

$\frac{-2}{4-y} < 0$

Так как числитель $-2$ отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен:

$4-y > 0$, что равносильно $y < 4$.

Ответ: $y \in (-\infty; 4)$.