Номер 10.23, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.23 Представьте данную функцию в виде $y = f(x + l) + m$, опишите её свойства и постройте график:

а) $y = \frac{x + 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{2x - 3}{x - 2}$;

в) $y = -\frac{x + 3}{x - 1}$;

г) $y = \frac{5 - x}{x - 3}$.

а) $y = \frac{x+4}{x+2}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Для того чтобы представить данную дробно-рациональную функцию в требуемом виде, выделим целую часть дроби. Для этого в числителе представим выражение так, чтобы оно содержало знаменатель:
$y = \frac{x+4}{x+2} = \frac{(x+2)+2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{2}{x+2} = 1 + \frac{2}{x+2}$.
Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{2}{x+2} + 1$.
Это соответствует виду $y = f(x+l) + m$, где базовая функция $f(x) = \frac{2}{x}$, параметр $l=2$ (сдвиг влево на 2 единицы) и параметр $m=1$ (сдвиг вверх на 1 единицу).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

- Область значений: Так как дробь $\frac{2}{x+2}$ не может быть равна нулю, $y$ не может быть равно $1$. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная асимптота $x = -2$; горизонтальная асимптота $y = 1$.

- Монотонность: Коэффициент $k=2 > 0$, поэтому функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; -2)$ и на $(-2; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = \frac{0+4}{0+2} = 2$. Точка $(0; 2)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = 1 + \frac{2}{x+2} \Rightarrow \frac{2}{x+2} = -1 \Rightarrow x+2 = -2 \Rightarrow x=-4$. Точка $(-4; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки пересечения асимптот $(-2; 1)$.

3. Построение графика.
График функции является гиперболой.
- В системе координат строим пунктирными линиями асимптоты: вертикальную прямую $x=-2$ и горизонтальную прямую $y=1$.
- Так как $k=2>0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами.
- Отмечаем на графике точки пересечения с осями координат: $(0; 2)$ и $(-4; 0)$.
- Для большей точности можно найти еще пару точек: например, при $x=-1$, $y=3$; при $x=-3$, $y=-1$.
- Соединяем точки плавными кривыми, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: $y = \frac{2}{x+2} + 1$.

б) $y = \frac{2x-3}{x-2}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Выделим целую часть дроби:
$y = \frac{2x-3}{x-2} = \frac{2(x-2)+4-3}{x-2} = \frac{2(x-2)+1}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} + \frac{1}{x-2} = 2 + \frac{1}{x-2}$.
Полученная функция: $y = \frac{1}{x-2} + 2$.
Здесь $f(x) = \frac{1}{x}$, $l=-2$ (сдвиг вправо на 2 единицы), $m=2$ (сдвиг вверх на 2 единицы).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

- Область значений: $y \neq 2$. $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная $x = 2$; горизонтальная $y = 2$.

- Монотонность: Коэффициент $k=1 > 0$, функция убывает на $(-\infty; 2)$ и на $(2; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = \frac{2(0)-3}{0-2} = 1.5$. Точка $(0; 1.5)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = \frac{2x-3}{x-2} \Rightarrow 2x-3=0 \Rightarrow x=1.5$. Точка $(1.5; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки $(2; 2)$.

3. Построение графика.
- Строим асимптоты $x=2$ и $y=2$.
- Ветви гиперболы ($k=1>0$) расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.
- Отмечаем точки $(0; 1.5)$ и $(1.5; 0)$.
- Для точности находим доп. точки: при $x=3, y=3$; при $x=1, y=1$.
- Строим график, проводя кривые через точки, приближаясь к асимптотам.

Ответ: $y = \frac{1}{x-2} + 2$.

в) $y = -\frac{x+3}{x-1}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Преобразуем выражение:
$y = -\frac{x+3}{x-1} = -\frac{(x-1)+4}{x-1} = -(\frac{x-1}{x-1} + \frac{4}{x-1}) = -(1 + \frac{4}{x-1}) = -1 - \frac{4}{x-1}$.
Полученная функция: $y = \frac{-4}{x-1} - 1$.
Здесь $f(x) = \frac{-4}{x}$, $l=-1$ (сдвиг вправо на 1 единицу), $m=-1$ (сдвиг вниз на 1 единицу).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

- Область значений: $y \neq -1$. $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная $x = 1$; горизонтальная $y = -1$.

- Монотонность: Коэффициент $k=-4 < 0$, функция возрастает на $(-\infty; 1)$ и на $(1; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = -\frac{0+3}{0-1} = 3$. Точка $(0; 3)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = -\frac{x+3}{x-1} \Rightarrow x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Точка $(-3; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки $(1; -1)$.

3. Построение графика.
- Строим асимптоты $x=1$ и $y=-1$.
- Ветви гиперболы ($k=-4<0$) расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.
- Отмечаем точки $(0; 3)$ и $(-3; 0)$.
- Дополнительные точки: при $x=2, y=-5$; при $x=3, y=-3$.
- Строим график.

Ответ: $y = \frac{-4}{x-1} - 1$.

г) $y = \frac{5-x}{x-3}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Выполним преобразование:
$y = \frac{5-x}{x-3} = \frac{-(x-5)}{x-3} = \frac{-(x-3-2)}{x-3} = \frac{-(x-3)+2}{x-3} = -\frac{x-3}{x-3} + \frac{2}{x-3} = -1 + \frac{2}{x-3}$.
Полученная функция: $y = \frac{2}{x-3} - 1$.
Здесь $f(x) = \frac{2}{x}$, $l=-3$ (сдвиг вправо на 3 единицы), $m=-1$ (сдвиг вниз на 1 единицу).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

- Область значений: $y \neq -1$. $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная $x = 3$; горизонтальная $y = -1$.

- Монотонность: Коэффициент $k=2 > 0$, функция убывает на $(-\infty; 3)$ и на $(3; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = \frac{5-0}{0-3} = -\frac{5}{3}$. Точка $(0; -5/3)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = \frac{5-x}{x-3} \Rightarrow 5-x=0 \Rightarrow x=5$. Точка $(5; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки $(3; -1)$.

3. Построение графика.
- Строим асимптоты $x=3$ и $y=-1$.
- Ветви гиперболы ($k=2>0$) расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.
- Отмечаем точки $(0; -5/3)$ и $(5; 0)$.
- Дополнительные точки: при $x=4, y=1$; при $x=2, y=-3$.
- Строим график.

Ответ: $y = \frac{2}{x-3} - 1$.