Номер 10.27, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.27 $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0; \\ -x^2 + 2x + 2, & \text{если } 0 \le x \le 2; \\ x, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо сначала построить график данной кусочно-заданной функции. График состоит из трех частей, которые мы рассмотрим по отдельности на заданных промежутках.

График на промежутке $x < 0$

На этом промежутке задана функция $y = \frac{3}{x}$. Её график — это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График асимптотически приближается к осям координат. Для построения найдем несколько контрольных точек: при $x=-1$, $y=-3$; при $x=-3$, $y=-1$; при $x=-0.5$, $y=-6$.

График на отрезке $0 \le x \le 2$

Здесь задана функция $y = -x^2 + 2x + 2$. Её график — это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины этой параболы:

Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Ордината вершины: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$. Поскольку $x_в = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$, то на этом отрезке функция достигает своего наибольшего значения, равного 3, в вершине. Найдем значения функции на концах отрезка:

$y(0) = -0^2 + 2(0) + 2 = 2$.

$y(2) = -2^2 + 2(2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$.

Таким образом, на отрезке $[0, 2]$ график представляет собой дугу параболы с концами в точках $(0, 2)$ и $(2, 2)$, которые принадлежат графику, и с вершиной в точке $(1, 3)$.

График на полуинтервале $2 < x \le 4$

На этом промежутке задана функция $y = x$. Её график — это отрезок прямой линии. Найдем значения на концах промежутка:

В точке $x=2$ значение функции стремится к 2. Эта точка $(2, 2)$ не принадлежит данному участку графика (является "выколотой"). Однако, поскольку точка $(2, 2)$ принадлежит предыдущему участку (параболе), функция является непрерывной в точке $x=2$.

В точке $x=4$ имеем $y=4$. Эта точка $(4, 4)$ принадлежит графику.

Построение и анализ итогового графика

Объединим все три части на одной координатной плоскости. Итоговый график состоит из ветви гиперболы в III четверти, дуги параболы от $(0, 2)$ до $(2, 2)$ с вершиной в $(1, 3)$, и отрезка прямой от $(2, 2)$ до $(4, 4)$.

Поскольку в условии задачи не указан конкретный вопрос, решим наиболее типичную для такого задания задачу: найдем все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. Для этого проанализируем количество пересечений горизонтальной прямой $y=m$ с построенным графиком в зависимости от $m$.

• При $m < 0$, прямая $y=m$ пересекает ветвь гиперболы в одной точке. Одно пересечение.
• При $0 \le m < 2$, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек. Нет пересечений.
• При $m = 2$, прямая $y=m$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 2)$. Два пересечения.
• При $2 < m < 3$, прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках и отрезок прямой в одной точке. Три пересечения.
• При $m = 3$, прямая $y=m$ касается параболы в ее вершине $(1, 3)$ и пересекает отрезок прямой в точке $(3, 3)$. Два пересечения.
• При $3 < m \le 4$, прямая $y=m$ пересекает только отрезок прямой в одной точке. Одно пересечение.
• При $m > 4$, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек. Нет пересечений.

Из анализа следует, что прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=2$ и $m=3$.

Ответ: $2; 3$.