Номер 11.14, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.14 Известно, что функция $y = f(x)$ — нечётная и ограничена снизу при $x > 0$. Можно ли утверждать, что она при $x < 0$:

a) ограничена сверху;

б) ограничена снизу?

По условию, функция $y = f(x)$ является нечётной, что означает выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения функции.

Также известно, что функция ограничена снизу при $x > 0$. Это означает, что существует такое число $m$, что для всех $x > 0$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

а) ограничена сверху

Рассмотрим поведение функции при $x < 0$. Нам нужно выяснить, существует ли такое число $M$, что для всех $x < 0$ будет выполняться неравенство $f(x) \le M$.

Пусть $x$ – любое отрицательное число, то есть $x < 0$. Тогда число $-x$ будет положительным, то есть $-x > 0$.

Поскольку $-x > 0$, для него выполняется условие ограниченности функции снизу: $f(-x) \ge m$.

Теперь воспользуемся свойством нечётности функции: $f(-x) = -f(x)$. Подставим это в наше неравенство: $-f(x) \ge m$.

Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $f(x) \le -m$.

Это неравенство справедливо для любого $x < 0$. Мы нашли число $M = -m$, которое ограничивает значения функции сверху. Таким образом, функция $f(x)$ ограничена сверху при $x < 0$.

Ответ: да, можно утверждать.

б) ограничена снизу

Чтобы выяснить, можно ли утверждать, что функция ограничена снизу при $x < 0$, рассмотрим конкретный пример функции, удовлетворяющей начальным условиям.

Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$. Проверим, удовлетворяет ли она условиям задачи.

1. Нечётность: $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. Функция является нечётной.
2. Ограниченность снизу при $x > 0$: Если $x > 0$, то $f(x) = \frac{1}{x} > 0$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом $m=0$.

Оба условия выполнены. Теперь посмотрим, является ли эта функция ограниченной снизу при $x < 0$.

При $x < 0$ значения функции $f(x) = \frac{1}{x}$ также отрицательны. Однако, если $x$ стремится к нулю слева (например, $x = -0.1, -0.01, -0.001, \dots$), то значения $f(x)$ стремятся к минус бесконечности ($f(x) = -10, -100, -1000, \dots$).

Это означает, что не существует такого числа $k$, что для всех $x < 0$ выполнялось бы неравенство $f(x) \ge k$. То есть, функция $f(x) = \frac{1}{x}$ не ограничена снизу при $x < 0$.

Поскольку мы нашли хотя бы один пример (контрпример) функции, которая удовлетворяет условиям, но не является ограниченной снизу при $x < 0$, мы не можем утверждать, что это свойство будет выполняться для всех таких функций.

Ответ: нет, нельзя утверждать.