Номер 11.15, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.15 Известно, что функция $y=f(x)$ — нечётная и ограничена сверху при $x > 0$. Можно ли утверждать, что она при $x < 0$:

а) ограничена сверху;

б) ограничена снизу?

Для решения этой задачи воспользуемся определениями нечётной функции и ограниченности функции.

Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция $f(x)$ ограничена сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Функция $f(x)$ ограничена снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

а) ограничена сверху;

Нет, утверждать, что функция ограничена сверху при $x < 0$, нельзя. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x$.

1. Проверим, является ли она нечётной:
$f(-x) = -(-x) = x$.
$-f(x) = -(-x) = x$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

2. Проверим, ограничена ли она сверху при $x > 0$:
Если $x > 0$, то $f(x) = -x < 0$. Это означает, что все значения функции на этом промежутке меньше нуля. Следовательно, функция ограничена сверху, например, числом $M=0$, так как $-x \le 0$ для всех $x > 0$.

3. Теперь проверим, ограничена ли эта функция сверху при $x < 0$:
Если $x < 0$, то $f(x) = -x > 0$. Значения функции могут быть сколь угодно большими. Например, если $x = -100$, то $f(x) = 100$; если $x = -1000$, то $f(x) = 1000$. Функция не имеет верхнего предела при $x < 0$, то есть не является ограниченной сверху на этом промежутке.

Таким образом, мы нашли функцию, которая удовлетворяет условиям задачи, но не является ограниченной сверху при $x < 0$.

Ответ: Нет, нельзя.

б) ограничена снизу?

Да, можно утверждать, что функция при $x < 0$ будет ограничена снизу. Докажем это.

Из условия известно, что функция $f(x)$ ограничена сверху при $x > 0$. Это означает, что существует такое число $M$, что для любого $x > 0$ выполняется неравенство:

$f(x) \le M$

Рассмотрим произвольное значение $x_0 < 0$. Нам нужно показать, что значения $f(x_0)$ ограничены снизу.

Если $x_0 < 0$, то $-x_0 > 0$.

Поскольку $-x_0 > 0$, для него выполняется условие ограниченности сверху:

$f(-x_0) \le M$

Так как функция $f(x)$ нечётная, мы знаем, что $f(-x_0) = -f(x_0)$. Подставим это в неравенство:

$-f(x_0) \le M$

Теперь умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$f(x_0) \ge -M$

Это неравенство справедливо для любого $x_0 < 0$. Мы показали, что существует число $m = -M$, такое, что для всех $x < 0$ выполняется $f(x) \ge m$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ ограничена снизу на промежутке $x < 0$.

Ответ: Да, можно.