Номер 11.17, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции $y = f(x)$ и исследуйте её на чётность:

11.17 $f(x) = \begin{cases} 3 + x, & \text{если } x < 0; \\ 3 - x, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} 3 + x, & \text{если } x < 0 \\ 3 - x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Постройте график функции y = f(x)

Для построения графика рассмотрим функцию на двух промежутках.

1. На промежутке $x < 0$ функция имеет вид $y = 3 + x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем значения $x$ из этого промежутка:

• Если $x = -1$, то $y = 3 + (-1) = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.
• Если $x = -3$, то $y = 3 + (-3) = 0$. Получаем точку $(-3, 0)$.

Таким образом, для $x < 0$ график представляет собой луч, проходящий через точки $(-1, 2)$ и $(-3, 0)$. Когда $x$ стремится к 0 слева, $y$ стремится к 3. Точка $(0, 3)$ не входит в этот луч (она "выколотая").

2. На промежутке $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 3 - x$. Это также линейная функция, и её график — прямая. Возьмем две точки из этого промежутка:

• Если $x = 0$, то $y = 3 - 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$. Эта точка принадлежит графику.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$. Получаем точку $(3, 0)$.

Для $x \ge 0$ график представляет собой луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и проходящий через точку $(3, 0)$.

Объединив два луча на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график. Он представляет собой фигуру, похожую на перевернутую букву V, с вершиной в точке $(0, 3)$.

Следует отметить, что данную функцию можно записать с помощью модуля: $f(x) = 3 - |x|$. График функции $y=-|x|$ представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в начале координат, а график $y = 3 - |x|$ получается из него сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Ответ: График функции представляет собой два луча, выходящих из общей точки $(0, 3)$. Один луч направлен влево и вниз, проходя через точку $(-3, 0)$. Второй луч направлен вправо и вниз, проходя через точку $(3, 0)$. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Исследуйте её на чётность

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1. Область определения. Функция определена для всех $x < 0$ и для всех $x \ge 0$. Следовательно, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, поэтому функция может быть четной или нечетной.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Рассмотрим два случая:

• Пусть $x > 0$. Тогда $-x < 0$. Для нахождения $f(-x)$ нужно использовать первую формулу ($3+x$):
  $f(-x) = 3 + (-x) = 3 - x$.
  При этом для $x > 0$ значение $f(x)$ находится по второй формуле ($3-x$):
  $f(x) = 3 - x$.
  Таким образом, при $x>0$ имеем $f(-x) = f(x)$.
• Пусть $x < 0$. Тогда $-x > 0$. Для нахождения $f(-x)$ нужно использовать вторую формулу ($3-x$):
  $f(-x) = 3 - (-x) = 3 + x$.
  При этом для $x < 0$ значение $f(x)$ находится по первой формуле ($3+x$):
  $f(x) = 3 + x$.
  Таким образом, при $x<0$ также имеем $f(-x) = f(x)$.

При $x = 0$, $f(0) = 3-0 = 3$ и $f(-0) = f(0) = 3$, равенство также выполняется.

Поскольку равенство $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, функция является чётной. Это также подтверждается симметрией её графика относительно оси Oy.

Ответ: Функция является чётной.