Номер 11.23, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

11.23 $y = \begin{cases} 2x + 4, & \text{если } -2 \le x \le -1; \\ 2x^2, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ -2x + 4, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$

Построение графика

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый участок отдельно.

Участок 1: $y = 2x + 4$ на промежутке $x \in [-2, -1]$.
Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:
- При $x = -2$, $y = 2(-2) + 4 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
- При $x = -1$, $y = 2(-1) + 4 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
Обе точки включены в график, так как неравенства строгие.

Участок 2: $y = 2x^2$ на промежутке $x \in (-1, 1]$.
Это квадратичная функция, ее график — часть параболы с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$.
- Вершина параболы: при $x = 0$, $y = 2(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Значения на границах промежутка: при $x \to -1$, $y \to 2(-1)^2 = 2$ (точка $(-1, 2)$ не включается на этом участке), и при $x = 1$, $y = 2(1)^2 = 2$ (точка $(1, 2)$ включается).

Участок 3: $y = -2x + 4$ на промежутке $x \in (1, 2]$.
Это снова линейная функция, ее график — отрезок прямой.
- Значения на границах промежутка: при $x \to 1$, $y \to -2(1) + 4 = 2$ (точка $(1, 2)$ не включается), и при $x = 2$, $y = -2(2) + 4 = 0$ (точка $(2, 0)$ включается).

Соединяем все участки. В точках "стыка" $x = -1$ и $x = 1$ значения функций, вычисленные для разных участков, совпадают ($y=2$). Следовательно, график является непрерывной линией на всей области определения.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

Чтение графика (свойства функции)

Перечислим основные свойства данной функции, "прочитав" ее график.

1. Область определения: Множество всех допустимых значений аргумента $x$.
$D(y) = [-2; 2]$.

2. Область значений: Множество всех значений, которые принимает функция.
$E(y) = [0; 2]$.

3. Четность: Функция является четной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x \in D(y)$ выполняется равенство $y(-x) = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

4. Нули функции: Значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.
$y=0$ при $x = -2, x = 0, x = 2$.

5. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (0; 2)$.
- $y < 0$ — таких значений $x$ нет.

6. Промежутки монотонности:
- Функция возрастает при $x \in [-2; -1]$ и при $x \in [0; 1]$.
- Функция убывает при $x \in [-1; 0]$ и при $x \in [1; 2]$.

7. Экстремумы функции:
- Точки максимума: $x_{max} = -1$ и $x_{max} = 1$. Максимальное значение функции (глобальный максимум): $y_{max} = 2$.
- Точки минимума: $x_{min} = -2, x_{min} = 0, x_{min} = 2$. Минимальное значение функции (глобальный минимум): $y_{min} = 0$.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-2; 2]$.

Ответ: Свойства функции, полученные в результате чтения графика, перечислены выше.