Номер 11.27, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.27 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 3 + x^2, \text{ если } x \ge 0; \\ h(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$ так, чтобы функция $y = f(x)$ являлась чётной.

По определению, функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Важным условием также является симметричность области определения функции относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).

В данном случае функция $f(x)$ определена для $x \ge 0$ как $3+x^2$ и для $x < 0$ как $h(x)$. Область определения функции $f(x)$ — это объединение промежутков $[0, +\infty)$ и $(-\infty, 0)$, что составляет множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля, поэтому первое условие четности выполнено.

Теперь необходимо удовлетворить второму условию: $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Нам нужно найти формулу для $h(x)$, которая определена при $x < 0$.

Рассмотрим произвольное отрицательное число $x$, то есть $x < 0$. Для такого $x$ соответствующее ему противоположное число $-x$ будет положительным, то есть $-x > 0$.

Согласно определению функции $f(x)$:
- при $x < 0$ значение функции равно $f(x) = h(x)$;
- при $-x > 0$ значение функции вычисляется по первой формуле: $f(-x) = 3 + (-x)^2$.

Для выполнения условия четности $f(x) = f(-x)$, мы должны приравнять полученные выражения:
$h(x) = 3 + (-x)^2$

Упростим правую часть равенства, учитывая, что $(-x)^2 = x^2$:
$h(x) = 3 + x^2$

Таким образом, для того чтобы функция $y=f(x)$ была четной, при $x < 0$ она должна быть задана формулой $h(x) = 3 + x^2$. В этом случае функция $f(x)$ примет вид $f(x) = 3 + x^2$ для всех действительных $x$, которая действительно является чётной, так как $f(-x) = 3 + (-x)^2 = 3 + x^2 = f(x)$.

Ответ: $h(x) = 3 + x^2$.