Номер 12.26, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.26 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^5, \\ y = |x| - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^6, \\ y = 1 - |x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^4, \\ y = 4 + |x|; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^7, \\ y = -|x| + 4. \end{cases}$

Для определения числа решений каждой системы уравнений мы проанализируем графики соответствующих функций. Число решений системы равно числу точек пересечения графиков этих функций.

а) Система: $ \begin{cases} y = x^5 \\ y = |x| - 2 \end{cases} $

Первое уравнение $y = x^5$ — это степенная функция с нечетным показателем. Её график — возрастающая кривая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и симметричная относительно него.
Второе уравнение $y = |x| - 2$ задает график модуля, смещенный на 2 единицы вниз. Это V-образная кривая ("галочка") с вершиной в точке $(0, -2)$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. При $x \ge 0$, система принимает вид $y = x^5$ и $y = x - 2$. Ищем решения уравнения $x^5 = x - 2$, или $x^5 - x + 2 = 0$. Пусть $f(x) = x^5 - x + 2$. Её производная $f'(x) = 5x^4 - 1$. На промежутке $x \ge 0$ производная обращается в ноль при $x = \sqrt[4]{1/5}$. В этой точке функция $f(x)$ имеет локальный минимум. Значение функции в этой точке: $f(\sqrt[4]{1/5}) = (\frac{1}{5})^{5/4} - (\frac{1}{5})^{1/4} + 2 = -\frac{4}{5}(\frac{1}{5})^{1/4} + 2$. Так как $\sqrt[4]{1/5} < 1$, то $\frac{4}{5}(\frac{1}{5})^{1/4} < 1$, а значит $f(\sqrt[4]{1/5}) > 0$. Поскольку минимальное значение функции на промежутке $x \ge 0$ положительно, то на этом промежутке решений нет.
2. При $x < 0$, система принимает вид $y = x^5$ и $y = -x - 2$. Ищем решения уравнения $x^5 = -x - 2$, или $x^5 + x + 2 = 0$. Пусть $g(x) = x^5 + x + 2$. Её производная $g'(x) = 5x^4 + 1$ всегда положительна, следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает. Значит, она может иметь не более одного корня. Подбором находим, что $g(-1) = (-1)^5 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Следовательно, $x = -1$ является единственным корнем.
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: 1.

б) Система: $ \begin{cases} y = x^6 \\ y = 1 - |x| \end{cases} $

Функция $y = x^6$ — четная, ее график симметричен относительно оси OY, похож на параболу. Вершина находится в точке $(0, 0)$.
Функция $y = 1 - |x|$ также четная. Ее график — это перевернутая V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 1)$.

Так как обе функции четные, достаточно найти количество решений для $x \ge 0$ и учесть симметрию.
При $x \ge 0$ система сводится к $y = x^6$ и $y = 1 - x$. Получаем уравнение $x^6 = 1 - x$, или $x^6 + x - 1 = 0$.
Пусть $f(x) = x^6 + x - 1$. Заметим, что $f(0) = -1$ и $f(1) = 1$. Так как функция непрерывна, по теореме о промежуточном значении на интервале $(0, 1)$ есть как минимум один корень.
Производная $f'(x) = 6x^5 + 1$ положительна при $x \ge 0$. Следовательно, функция $f(x)$ на этом промежутке строго возрастает и может иметь не более одного корня.
Таким образом, для $x > 0$ есть ровно одно решение. В силу симметрии, для $x < 0$ также будет одно решение. При $x=0$ решения нет ($0^6 \neq 1-|0|$).
Всего система имеет два решения.
Ответ: 2.

в) Система: $ \begin{cases} y = x^4 \\ y = 4 + |x| \end{cases} $

Функция $y = x^4$ — четная, график симметричен относительно оси OY, вершина в $(0, 0)$.
Функция $y = 4 + |x|$ — четная, график — V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 4)$.

Рассмотрим случай $x \ge 0$, когда $|x|=x$. Система принимает вид $y = x^4$ и $y = 4 + x$. Получаем уравнение $x^4 = 4 + x$, или $x^4 - x - 4 = 0$.
Пусть $f(x) = x^4 - x - 4$. Заметим, что $f(1) = 1 - 1 - 4 = -4$ и $f(2) = 16 - 2 - 4 = 10$. Так как функция непрерывна, на интервале $(1, 2)$ есть корень.
Производная $f'(x) = 4x^3 - 1$. На промежутке $x \ge 0$ она обращается в ноль при $x = \sqrt[3]{1/4}$. В этой точке у функции $f(x)$ локальный минимум. Значение в минимуме: $f(\sqrt[3]{1/4}) = (\frac{1}{4})^{4/3} - (\frac{1}{4})^{1/3} - 4 = -\frac{3}{4}(\frac{1}{4})^{1/3} - 4 < 0$.
Так как $f(0) = -4$, минимум отрицателен, а при $x \to \infty$ функция $f(x) \to \infty$, то на промежутке $x \ge 0$ есть ровно один корень.
В силу четности обеих исходных функций, существует и второе, симметричное отрицательное решение. При $x=0$ решения нет ($0^4 \neq 4+|0|$).
Всего система имеет два решения.
Ответ: 2.

г) Система: $ \begin{cases} y = x^7 \\ y = -|x| + 4 \end{cases} $

Функция $y = x^7$ — нечетная, ее график симметричен относительно начала координат и проходит через точку $(0, 0)$.
Функция $y = -|x| + 4$ — четная, ее график — перевернутая V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 4)$.

Рассмотрим два случая:
1. При $x \ge 0$, система принимает вид $y = x^7$ и $y = -x + 4$. Получаем уравнение $x^7 + x - 4 = 0$. Пусть $f(x) = x^7 + x - 4$. Заметим, что $f(1) = 1 + 1 - 4 = -2$ и $f(2) = 128 + 2 - 4 = 126$. Так как функция непрерывна, на интервале $(1, 2)$ есть корень. Производная $f'(x) = 7x^6 + 1$ всегда положительна, значит, функция $f(x)$ строго возрастает и имеет ровно один корень. Этот корень положителен.
2. При $x < 0$, система принимает вид $y = x^7$ и $y = x + 4$. Получаем уравнение $x^7 - x - 4 = 0$. Пусть $g(x) = x^7 - x - 4$. Производная $g'(x) = 7x^6 - 1$. Для $x < 0$ производная обращается в ноль в точке $x = -\sqrt[6]{1/7}$. Это точка локального максимума для $g(x)$ при $x < 0$. Значение функции в этой точке: $g(-\sqrt[6]{1/7}) = -(\frac{1}{7})^{7/6} + (\frac{1}{7})^{1/6} - 4 = \frac{6}{7}(\frac{1}{7})^{1/6} - 4$. Так как $\sqrt[6]{1/7} < 1$, то $\frac{6}{7}(\frac{1}{7})^{1/6} < 1$, а значит, значение в максимуме $g(-\sqrt[6]{1/7})$ отрицательно. Поскольку максимальное значение функции на промежутке $x < 0$ отрицательно, корней на этом промежутке нет.
При $x=0$ решения нет ($0^7 \neq -|0|+4$).
Следовательно, система имеет только одно решение.
Ответ: 1.