Номер 12.31, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.31 $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < -1; \\ x^{11}, & \text{если } -1 \leq x \leq 1; \\ (x-1)^4 + 1, & \text{если } 1 < x \leq 3. \end{cases}$

Проведем полное исследование данной кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < -1; \\ x^{11}, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ (x-1)^4 + 1, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция определена на объединении трех промежутков: $(-\infty, -1)$, $[-1, 1]$ и $(1, 3]$. Объединяя эти промежутки, получаем область определения функции $D(y) = (-\infty, 3]$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty, 3]$.

2. Исследование функции на непрерывность и точки разрыва

На каждом из интервалов $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, 3)$ функция задана элементарными функциями, которые непрерывны на этих интервалах. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x = -1$ и $x = 1$.

Для точки $x = -1$:

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{-1} = -1$.

Значение функции в точке: $y(-1) = (-1)^{11} = -1$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} x^{11} = (-1)^{11} = -1$.

Так как $\lim_{x \to -1^-} y(x) = y(-1) = \lim_{x \to -1^+} y(x)$, функция непрерывна в точке $x = -1$.

Для точки $x = 1$:

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} x^{11} = 1^{11} = 1$.

Значение функции в точке: $y(1) = 1^{11} = 1$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} ((x-1)^4 + 1) = (1-1)^4 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Так как $\lim_{x \to 1^-} y(x) = y(1) = \lim_{x \to 1^+} y(x)$, функция непрерывна в точке $x = 1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 3]$. Точек разрыва нет.

3. Исследование функции на монотонность и экстремумы

Найдем производную функции на каждом из интервалов:

$y' = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x < -1; \\ 11x^{10}, & \text{если } -1 < x < 1; \\ 4(x-1)^3, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

Найдем критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

$y' = 0$:

На интервале $(-\infty, -1)$ уравнение $-\frac{1}{x^2} = 0$ не имеет решений.

На интервале $(-1, 1)$ уравнение $11x^{10} = 0$ имеет решение $x=0$.

На интервале $(1, 3)$ уравнение $4(x-1)^3 = 0$ имеет решение $x=1$, которое не входит в данный интервал.

Таким образом, единственная стационарная точка - $x=0$.

Производная не существует в точках $x=-1$ и $x=1$, так как в этих точках меняется аналитическое выражение для функции. Проверим значения односторонних производных:

В точке $x=-1$: $y'(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} (-\frac{1}{x^2}) = -1$; $y'(-1^+) = \lim_{x \to -1^+} (11x^{10}) = 11$. Так как $y'(-1^-) \neq y'(-1^+)$, производная в точке $x=-1$ не существует.

В точке $x=1$: $y'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (11x^{10}) = 11$; $y'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (4(x-1)^3) = 0$. Так как $y'(1^-) \neq y'(1^+)$, производная в точке $x=1$ не существует.

Критические точки: $x=-1$, $x=0$, $x=1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения:

При $x \in (-\infty, -1)$: $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$, функция убывает.

При $x \in (-1, 1)$: $y' = 11x^{10} \ge 0$, функция возрастает (в точке $x=0$ производная равна 0, но знак не меняется).

При $x \in (1, 3)$: $y' = 4(x-1)^3 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-1$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = -1$.

В точке $x=0$ производная не меняет знак, экстремума нет.

В точке $x=1$ производная не меняет знак, экстремума нет.

На левой границе области определения ($x \to -\infty$) функция стремится к 0. На правой границе ($x=3$) значение функции $y(3) = (3-1)^4+1 = 17$.

Сравнивая значения в точке минимума и на границах, заключаем, что $y_{min} = -1$ является глобальным минимумом, а $y(3)=17$ - глобальным максимумом на области определения.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, 3]$. Точка минимума $x=-1$, $y_{min}=-1$. Точка максимума (на границе области определения) $x=3$, $y_{max}=17$.

4. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \begin{cases} (\-x^{-2})' = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}, & \text{если } x < -1; \\ (11x^{10})' = 110x^9, & \text{если } -1 < x < 1; \\ (4(x-1)^3)' = 12(x-1)^2, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

Определим знаки второй производной:

При $x \in (-\infty, -1)$: $x^3 < 0$, поэтому $y'' = \frac{2}{x^3} < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).

При $x \in (-1, 0)$: $x^9 < 0$, поэтому $y'' = 110x^9 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).

При $x \in (0, 1)$: $x^9 > 0$, поэтому $y'' = 110x^9 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

При $x \in (1, 3)$: $(x-1)^2 > 0$, поэтому $y'' = 12(x-1)^2 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак (с "-" на "+"), и функция в этой точке непрерывна. Следовательно, $x=0$ - точка перегиба. Координаты точки перегиба: $(0, y(0)) = (0, 0)$.

В точках $x=-1$ и $x=1$ вторая производная не существует. В точке $x=-1$ знак $y''$ не меняется (слева "–", справа "–"). В точке $x=1$ знак $y''$ не меняется (слева "+", справа "+").

Ответ: График функции является выпуклым вверх (вогнутым) на промежутке $(-\infty, 0)$ и выпуклым вниз (выпуклым) на промежутке $(0, 3]$. Точка перегиба: $(0, 0)$.

5. Нахождение асимптот графика функции

Вертикальные асимптоты:

Поскольку функция непрерывна на всей своей области определения $(-\infty, 3]$, вертикальных асимптот нет.

Горизонтальные асимптоты:

Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$ (правая часть области определения ограничена):

$\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Наклонные асимптоты:

При $x \to -\infty$ уже есть горизонтальная асимптота, поэтому наклонной асимптоты нет. При $x \to +\infty$ функция не определена.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

6. Построение графика функции

Основываясь на проведенном исследовании, построим график функции. Обобщим результаты:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, 3]$.
• Область значений: $E(y) = [-1, 17]$.
• Функция непрерывна.
• Асимптота: $y=0$ при $x \to -\infty$.
• Убывает на $(-\infty, -1]$, возрастает на $[-1, 3]$.
• Глобальный минимум в точке $(-1, -1)$.
• Глобальный максимум в точке $(3, 17)$.
• Выпукла вверх на $(-\infty, 0)$, выпукла вниз на $(0, 3]$.
• Точка перегиба: $(0, 0)$.
• Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(3, 17)$.

График состоит из трех частей:

1. При $x < -1$: ветвь гиперболы $y=1/x$, расположенная в третьей четверти. График приближается к оси $Ox$ ($y=0$) слева и заканчивается в точке $(-1, -1)$. На этом участке функция убывает и выпукла вверх.
2. При $-1 \le x \le 1$: часть графика функции $y=x^{11}$. Он проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. В точке $(0,0)$ у графика горизонтальная касательная и это точка перегиба. На этом участке функция возрастает.
3. При $1 < x \le 3$: часть графика функции $y=(x-1)^4+1$. Это парабола четвертой степени, смещенная на 1 вправо и на 1 вверх. График начинается из точки $(1, 1)$ и заканчивается в точке $(3, 17)$. На этом участке функция возрастает и выпукла вниз.

В точках "стыка" $x=-1$ и $x=1$ график имеет изломы (угловые точки), так как односторонние производные не равны.

Ответ: График построен на основе совокупности данных, полученных в ходе исследования.