Номер 12.36, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.36 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^7$. Докажите, что

$f(2x) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = (f(x))^2$.

Чтобы доказать тождество $f(2x) \cdot f(\frac{x}{2}) = (f(x))^2$ для функции $f(x) = x^7$, мы преобразуем левую и правую части равенства по отдельности и убедимся, что они равны.

Преобразуем левую часть равенства $f(2x) \cdot f(\frac{x}{2})$

Сначала найдём значение функции для аргумента $2x$, подставив $2x$ в выражение для $f(x)$:
$f(2x) = (2x)^7 = 2^7 \cdot x^7$.

Аналогично найдём значение функции для аргумента $\frac{x}{2}$:
$f\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^7 = \frac{x^7}{2^7}$.

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти значение левой части равенства:
$f(2x) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = (2^7 \cdot x^7) \cdot \left(\frac{x^7}{2^7}\right)$.

Сократим множитель $2^7$ и воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^7 \cdot x^7 = x^{7+7} = x^{14}$.

Таким образом, левая часть равна $x^{14}$.

Преобразуем правую часть равенства $(f(x))^2$

Подставим в правую часть выражение для $f(x)$:
$(f(x))^2 = (x^7)^2$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(x^7)^2 = x^{7 \cdot 2} = x^{14}$.

Таким образом, правая часть равна $x^{14}$.

Заключение

Мы получили, что левая часть равенства равна $x^{14}$ и правая часть равенства также равна $x^{14}$. Поскольку левая и правая части тождественно равны ($x^{14} = x^{14}$), исходное равенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.