Номер 12.27, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.27 Решите графически неравенство:

а) $x^4 \le \sqrt{x}$;

б) $x^5 < 5 - 4x$;

в) $x^3 \ge |x| - 2$;

г) $-x^4 < \sqrt{x + 1}$.

а) Чтобы решить неравенство $x^4 \le \sqrt{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^4$ и $y = \sqrt{x}$.

Область определения неравенства задается условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. График функции $y = x^4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, более "прижатая" к оси OY, чем стандартная парабола $y=x^2$. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная относительно оси OX. Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^4 = \sqrt{x}$. Возведем обе части в квадрат (это возможно, так как $x \ge 0$): $(x^4)^2 = (\sqrt{x})^2$ $x^8 = x$ $x^8 - x = 0$ $x(x^7 - 1) = 0$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Графики пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1).

Решением неравенства $x^4 \le \sqrt{x}$ является промежуток, на котором график функции $y = x^4$ расположен не выше графика функции $y = \sqrt{x}$. Из графика видно, что на интервале $(0, 1)$ график $y = x^4$ находится ниже графика $y = \sqrt{x}$. В точках $x=0$ и $x=1$ значения функций равны. Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

б) Чтобы решить неравенство $x^5 < 5 - 4x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^5$ и $y = 5 - 4x$.

График функции $y = x^5$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, возрастающая на всей числовой оси. График функции $y = 5 - 4x$ — это прямая, убывающая на всей числовой оси. Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $x^5 = 5 - 4x$, или $x^5 + 4x - 5 = 0$. Подбором легко найти корень $x = 1$, так как $1^5 + 4 \cdot 1 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 4x - 5$. Ее производная $f'(x) = 5x^4 + 4$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) > 0$ всегда. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает, и, следовательно, уравнение $f(x)=0$ имеет только один корень. Таким образом, графики пересекаются в единственной точке при $x=1$.

Решением неравенства $x^5 < 5 - 4x$ является промежуток, на котором график функции $y = x^5$ расположен ниже графика функции $y = 5 - 4x$. Так как $y=x^5$ возрастает, а $y=5-4x$ убывает, и они пересекаются в точке $x=1$, то при $x < 1$ график $y=x^5$ будет ниже графика $y=5-4x$. Неравенство строгое, поэтому точка $x=1$ не входит в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

в) Чтобы решить неравенство $x^3 \ge |x| - 2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = |x| - 2$.

График функции $y = x^3$ — кубическая парабола. График функции $y = |x| - 2$ — это график $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вниз по оси OY. Он представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0; -2). Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^3 = |x| - 2$. Рассмотрим два случая: 1) При $x \ge 0$ уравнение принимает вид $x^3 = x - 2$, или $x^3 - x + 2 = 0$. График функции $y=x^3$ при $x \ge 0$ всегда находится выше графика прямой $y=x-2$. Например, при $x=0$, $0 > -2$. При $x=1$, $1 > -1$. У них нет точек пересечения при $x \ge 0$. 2) При $x < 0$ уравнение принимает вид $x^3 = -x - 2$, или $x^3 + x + 2 = 0$. Подбором находим корень $x = -1$, так как $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Производная функции $g(x) = x^3 + x + 2$ равна $g'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, значит, функция строго возрастает и имеет только один корень. Таким образом, графики пересекаются в единственной точке при $x=-1$.

Решением неравенства $x^3 \ge |x| - 2$ является промежуток, на котором график функции $y = x^3$ расположен не ниже графика функции $y = |x| - 2$. Из графика видно, что при $x > -1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=|x|-2$. В точке $x=-1$ их значения равны. Следовательно, решение неравенства — это промежуток $[-1, \infty)$.

Ответ: $x \in [-1, \infty)$.

г) Чтобы решить неравенство $-x^4 < \sqrt{x+1}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = -x^4$ и $y = \sqrt{x+1}$.

Область определения неравенства: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. График функции $y = -x^4$ — это парабола, симметричная графику $y=x^4$ относительно оси OX. Все значения этой функции не положительны ($y \le 0$). График функции $y = \sqrt{x+1}$ — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево. Все значения этой функции не отрицательны ($y \ge 0$). Найдем точки пересечения: $-x^4 = \sqrt{x+1}$. Левая часть уравнения всегда $\le 0$, а правая всегда $\ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0. $-x^4 = 0$ при $x=0$. $\sqrt{x+1} = 0$ при $x=-1$. Так как нет такого значения $x$, при котором обе функции одновременно равны нулю, у них нет точек пересечения.

На всей области определения $x \ge -1$ значения функции $y=\sqrt{x+1}$ неотрицательны, а значения функции $y=-x^4$ неположительны. Так как графики не пересекаются, то всегда выполняется строгое неравенство $-x^4 < \sqrt{x+1}$. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \in [-1, \infty)$.