Номер 13.9, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.9 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = x$ и $y = \frac{1}{x^3}$;

б) $y = x^{-4}$ и $y = -2$;

в) $y = x^{-7}$ и $y = -x$;

г) $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = |x|$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x$ и $y = \frac{1}{x^3}$, приравняем их правые части. Область определения функции $y = \frac{1}{x^3}$ — все действительные числа, кроме $x=0$.
$x = \frac{1}{x^3}$
Умножим обе части уравнения на $x^3$ (при условии, что $x \neq 0$):
$x \cdot x^3 = 1$
$x^4 = 1$
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в любое из исходных уравнений, например, в $y = x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1$. Первая точка пересечения: $(1, 1)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$. Вторая точка пересечения: $(-1, -1)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^{-4}$ и $y = -2$, приравняем их правые части.
$x^{-4} = -2$
Запишем $x^{-4}$ в виде дроби:
$\frac{1}{x^4} = -2$
Выражение $x^4$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$. Поскольку по области определения $x \neq 0$, то $x^4$ всегда строго положительно. Следовательно, левая часть уравнения, $\frac{1}{x^4}$, также всегда положительна. Правая часть уравнения — отрицательное число. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому у данного уравнения нет действительных решений.
Ответ: точек пересечения нет.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^{-7}$ и $y = -x$, приравняем их правые части.
$x^{-7} = -x$
Запишем $x^{-7}$ в виде дроби, при этом $x \neq 0$:
$\frac{1}{x^7} = -x$
Умножим обе части на $x^7$:
$1 = -x \cdot x^7$
$1 = -x^8$
$x^8 = -1$
Степень $x^8$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным числом ($x^8 \ge 0$). Уравнение $x^8 = -1$ не имеет действительных решений.
Ответ: точек пересечения нет.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = |x|$, приравняем их правые части. Область определения $x \neq 0$.
$\frac{1}{x^2} = |x|$
Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем рассмотреть два случая для раскрытия модуля.
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{x^2} = x$
$1 = x^3$
Отсюда $x = 1$. Найдем соответствующий $y$: $y = |1| = 1$. Первая точка пересечения: $(1, 1)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{x^2} = -x$
$1 = -x^3$
$x^3 = -1$
Отсюда $x = -1$. Найдем соответствующий $y$: $y = |-1| = 1$. Вторая точка пересечения: $(-1, 1)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 1)$.