Номер 13.16, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.16 Исследуйте степенную функцию $y = x^{-n}$ на чётность и ограниченность, если известно, что её график проходит через заданную точку:

а) (-1; 1);

б) (-1; -1);

в) (1; 1);

г) (1; -1).

а) (-1; 1)

По условию, график степенной функции $y = x^{-n}$ проходит через точку с координатами $(-1; 1)$. Чтобы найти информацию о показателе $n$, подставим координаты точки в уравнение функции: $1 = (-1)^{-n}$ Это равенство можно записать в виде $1 = \frac{1}{(-1)^n}$, из чего следует, что $(-1)^n = 1$. Для целых чисел $n$ это равенство справедливо только в том случае, если $n$ — чётное число ($n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Исследование на чётность: Поскольку $n$ — чётное число, проверим свойство чётности. Область определения функции $D(y)$ (например, $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ для натуральных $n$) симметрична относительно нуля. $y(-x) = (-x)^{-n} = ((-1) \cdot x)^{-n} = (-1)^{-n} \cdot x^{-n}$. Так как $n$ — чётное, $(-1)^n = 1$, и $(-1)^{-n} = \frac{1}{(-1)^n} = \frac{1}{1} = 1$. Следовательно, $y(-x) = 1 \cdot x^{-n} = x^{-n} = y(x)$. Функция является чётной.

Исследование на ограниченность: Если $n$ — положительное чётное число (например, 2, 4, ...), то функция имеет вид $y = \frac{1}{x^n}$. В этом случае, при $x$, стремящемся к нулю, значение $y$ стремится к $+\infty$. Значит, функция не ограничена сверху. Однако, поскольку $x^n > 0$ для всех $x \neq 0$, то и $y = \frac{1}{x^n} > 0$. Таким образом, функция ограничена снизу (например, числом 0). Если $n=0$, функция $y = x^0 = 1$ является ограниченной. Если $n$ — отрицательное чётное число (например, -2, -4, ...), то $y = x^k$, где $k$ — положительное чётное число. Такая функция также ограничена снизу (её минимум равен 0 при $x=0$), но не ограничена сверху. В общем случае (кроме $n=0$) функция ограничена снизу.

Ответ: функция является чётной и ограниченной снизу.

б) (-1; -1)

График функции $y = x^{-n}$ проходит через точку $(-1; -1)$. Подставляем её координаты в уравнение: $-1 = (-1)^{-n}$ Перепишем равенство: $-1 = \frac{1}{(-1)^n}$, откуда $(-1)^n = -1$. Для целых чисел $n$ это равенство выполняется только если $n$ — нечётное число ($n = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Исследование на чётность: Так как $n$ — нечётное число, $y(-x) = (-x)^{-n} = (-1)^{-n} \cdot x^{-n}$. Поскольку $n$ нечётное, $(-1)^n = -1$, и $(-1)^{-n} = \frac{1}{-1} = -1$. Следовательно, $y(-x) = -1 \cdot x^{-n} = -x^{-n} = -y(x)$. Функция является нечётной.

Исследование на ограниченность: Если $n$ — положительное нечётное число (например, 1, 3, ...), то $y = \frac{1}{x^n}$. При $x \to 0^+$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to 0^-$ значение $y \to -\infty$. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Если $n$ — отрицательное нечётное число (например, -1, -3, ...), то $y = x^k$, где $k$ — положительное нечётное число. Такая функция также не ограничена, так как при $x \to +\infty$ $y \to +\infty$, а при $x \to -\infty$ $y \to -\infty$. Таким образом, функция не является ограниченной.

Ответ: функция является нечётной и не является ограниченной.

в) (1; 1)

График функции $y = x^{-n}$ проходит через точку $(1; 1)$. Подставляем координаты в уравнение: $1 = 1^{-n}$ Так как $1$ в любой действительной степени равен $1$, мы получаем верное тождество $1 = 1$. Это означает, что условие выполняется для любого показателя $n$.

Исследование на чётность: Поскольку из данного условия невозможно определить, является ли $n$ чётным или нечётным числом (или вообще целым), то определить чётность функции невозможно. Например, если $n=2$, функция $y=x^{-2}$ чётная, а если $n=3$, функция $y=x^{-3}$ нечётная. Обе функции проходят через точку (1; 1).

Исследование на ограниченность: Если предположить, что $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. В этом случае $y = \frac{1}{x^n}$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. Значит, функция не ограничена сверху. Таким образом, функция не является ограниченной. (Это верно и для любого другого положительного $n$).

Ответ: чётность определить невозможно, функция не является ограниченной.

г) (1; -1)

График функции $y = x^{-n}$ проходит через точку $(1; -1)$. Подставляем координаты: $-1 = 1^{-n}$ Так как $1$ в любой степени равен $1$, получаем равенство: $-1 = 1$ Это равенство является ложным. Следовательно, не существует степенной функции вида $y = x^{-n}$, график которой проходил бы через данную точку.

Ответ: такой функции не существует.