Номер 13.20, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.20 Не выполняя построения графика функции $y=(x-1)^2 - 2$, укажите:

а) область определения и область значений функции;

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции;

в) уравнения асимптот;

г) уравнение оси симметрии графика функции.

а) область определения и область значений функции;

Дана функция $y = (x - 1)^{-2} - 2$, которую можно представить в виде $y = \frac{1}{(x-1)^2} - 2$.

Область определения (D(y)): Функция определена для всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Знаменатель $(x-1)^2$ равен нулю при $x=1$. Следовательно, из области определения нужно исключить эту точку. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Область значений (E(y)): Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно. Так как $x \neq 1$, то $(x-1)^2$ всегда строго положительно: $(x-1)^2 > 0$. Следовательно, обратное ему выражение $\frac{1}{(x-1)^2}$ также всегда строго положительно: $\frac{1}{(x-1)^2} > 0$. Тогда для всей функции $y = \frac{1}{(x-1)^2} - 2$ имеем: $y > 0 - 2$, то есть $y > -2$. При этом, когда $x$ стремится к $1$, знаменатель $(x-1)^2$ стремится к $0^+$, а дробь $\frac{1}{(x-1)^2}$ стремится к $+\infty$. Значит, $y$ может принимать сколь угодно большие значения. Когда $x$ стремится к $\pm\infty$, знаменатель $(x-1)^2$ стремится к $+\infty$, а дробь $\frac{1}{(x-1)^2}$ стремится к $0$. Значит, $y$ стремится к $-2$. Таким образом, область значений функции — это все числа, строго большие $-2$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-2; +\infty)$.

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки монотонности: Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции: $y' = ((x-1)^{-2} - 2)' = -2(x-1)^{-3} \cdot (x-1)' = -2(x-1)^{-3} = -\frac{2}{(x-1)^3}$. Исследуем знак производной на интервалах области определения.

• При $x \in (-\infty; 1)$, имеем $x-1 < 0$, тогда $(x-1)^3 < 0$. Производная $y' = -\frac{2}{(-)} > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$.
• При $x \in (1; +\infty)$, имеем $x-1 > 0$, тогда $(x-1)^3 > 0$. Производная $y' = -\frac{2}{(+)} < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(1; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$: $\frac{1}{(x-1)^2} - 2 = 0 \implies \frac{1}{(x-1)^2} = 2 \implies (x-1)^2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $x-1 = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Нули функции: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точка разрыва $x=1$ и нули функции делят числовую ось на интервалы. Определим знак функции на этих интервалах.

• $y>0$ (функция положительна): $\frac{1}{(x-1)^2} - 2 > 0 \implies \frac{1}{(x-1)^2} > 2 \implies (x-1)^2 < \frac{1}{2}$. Это неравенство равносильно системе $|x-1| < \frac{1}{\sqrt{2}} \implies -\frac{\sqrt{2}}{2} < x-1 < \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 1-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$. Учитывая точку разрыва $x=1$, получаем $x \in (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}; 1) \cup (1; 1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$.
• $y<0$ (функция отрицательна): $\frac{1}{(x-1)^2} - 2 < 0 \implies \frac{1}{(x-1)^2} < 2 \implies (x-1)^2 > \frac{1}{2}$. Это неравенство равносильно $|x-1| > \frac{1}{\sqrt{2}}$, что дает $x-1 > \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем $x > 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$, убывает на промежутке $(1; +\infty)$. Функция положительна ($y>0$) при $x \in (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}; 1) \cup (1; 1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$. Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

в) уравнения асимптот;

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва $x=1$. Найдем пределы функции при $x \to 1$: $\lim_{x \to 1} y(x) = \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{(x-1)^2} - 2\right) = +\infty$, так как $(x-1)^2$ стремится к $0$ с положительной стороны. Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{(x-1)^2} - 2\right) = 0 - 2 = -2$, так как при $x \to \pm\infty$ выражение $(x-1)^2 \to +\infty$ и, соответственно, $\frac{1}{(x-1)^2} \to 0$. Следовательно, прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

г) уравнение оси симметрии графика функции.

График функции $y = \frac{1}{(x-1)^2} - 2$ получен из графика четной функции $f(x)=\frac{1}{x^2}$ (симметричной относительно оси $Oy$, т.е. прямой $x=0$) путем сдвига на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Горизонтальный сдвиг на 1 единицу вправо смещает и ось симметрии на 1 единицу вправо. Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной оси симметрии. Таким образом, осью симметрии для данного графика является прямая $x=1$.

Ответ: $x=1$.