Номер 13.25, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.25 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = x^2$, $g(x) = x^{-4}$. Докажите, что $\frac{16}{f(x^2)} = \left(g\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{-1}$.

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую и правую части и показать, что они равны. Нам даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = x^{-4}$.

1. Преобразуем левую часть равенства

Левая часть имеет вид $\frac{16}{f(x^2)}$.

Для нахождения $f(x^2)$ подставим в функцию $f(x) = x^2$ вместо аргумента $x$ выражение $x^2$:

$f(x^2) = (x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{16}{f(x^2)} = \frac{16}{x^4}$.

2. Преобразуем правую часть равенства

Правая часть имеет вид $\left(g\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{-1}$.

Сначала найдем $g\left(\frac{2}{x}\right)$, подставив в функцию $g(x) = x^{-4}$ вместо аргумента $x$ выражение $\frac{2}{x}$:

$g\left(\frac{2}{x}\right) = \left(\frac{2}{x}\right)^{-4}$.

Используя свойства степени, упростим полученное выражение. Свойство степени дроби: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Свойство отрицательной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$\left(\frac{2}{x}\right)^{-4} = \frac{2^{-4}}{x^{-4}} = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16}$.

Теперь возведем полученный результат в степень $-1$:

$\left(g\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{-1} = \left(\frac{x^4}{16}\right)^{-1}$.

Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$, получаем:

$\left(\frac{x^4}{16}\right)^{-1} = \frac{16}{x^4}$.

3. Заключение

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{16}{x^4}$ и правая часть равенства также равна $\frac{16}{x^4}$.

$\frac{16}{x^4} = \frac{16}{x^4}$.

Поскольку левая и правая части тождественно равны, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.