Номер 14.7, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.7 а) $a \sqrt[3]{x}$;

б) $a^2 \sqrt[3]{a}$;

в) $2x \sqrt[3]{a^2}$;

г) $x^3 \sqrt[3]{x^2}$.

а) Чтобы внести множитель $a$ под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, то есть в третью степень, и записать результат под знаком корня.
Представим множитель $a$ в виде кубического корня: $a = \sqrt[3]{a^3}$.
Тогда исходное выражение можно переписать так:
$a \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{x}$.
Используя свойство произведения корней одинаковой степени ($\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{bc}$), объединим выражения под одним корнем:
$\sqrt[3]{a^3 \cdot x} = \sqrt[3]{a^3x}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^3x}$.

б) Вносим множитель $a^2$ под знак кубического корня. Для этого возводим $a^2$ в третью степень.
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
Теперь умножаем полученное выражение на выражение, уже находящееся под корнем:
$a^2 \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{(a^2)^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^6 \cdot a}$.
По свойству степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), складываем показатели:
$\sqrt[3]{a^{6+1}} = \sqrt[3]{a^7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^7}$.

в) Вносим множитель $2x$ под знак кубического корня. Для этого возводим все выражение $2x$ в третью степень.
$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
Теперь записываем полученный результат под знак корня, умножая его на уже имеющееся там выражение $a^2$:
$2x \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{(2x)^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{8x^3 \cdot a^2}$.
Для удобства записи расположим множители в алфавитном порядке: $\sqrt[3]{8a^2x^3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{8a^2x^3}$.

г) Вносим множитель $x^3$ под знак кубического корня. Возводим $x^3$ в третью степень.
$(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$.
Далее умножаем полученное выражение на подкоренное выражение $x^2$:
$x^3 \sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{(x^3)^3 \cdot x^2} = \sqrt[3]{x^9 \cdot x^2}$.
Используя свойство степеней, складываем показатели:
$\sqrt[3]{x^{9+2}} = \sqrt[3]{x^{11}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{x^{11}}$.