Номер 14.12, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.12 a) $\sqrt[3]{54} \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{100};$

б) $(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{4}) \cdot \sqrt[3]{6};$

в) $\sqrt[3]{\frac{192}{49}} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{7}};$

г) $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{15}) \cdot \sqrt[3]{25}.$

а) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{54} \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{100}$ сгруппируем множители и воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$5 \cdot \sqrt[3]{54} \cdot \sqrt[3]{100} = 5 \cdot \sqrt[3]{54 \cdot 100} = 5 \cdot \sqrt[3]{5400}$

Чтобы извлечь кубический корень, разложим число 5400 на множители, выделяя кубы чисел:

$5400 = 54 \cdot 100 = (27 \cdot 2) \cdot 100 = (3^3 \cdot 2) \cdot 100 = 3^3 \cdot 200 = 3^3 \cdot (8 \cdot 25) = 3^3 \cdot 2^3 \cdot 25 = (3 \cdot 2)^3 \cdot 25 = 6^3 \cdot 25$

Подставим разложение обратно в выражение и извлечем корень:

$5 \cdot \sqrt[3]{6^3 \cdot 25} = 5 \cdot (\sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{25}) = 5 \cdot 6 \cdot \sqrt[3]{25} = 30\sqrt[3]{25}$

Ответ: $30\sqrt[3]{25}$

б) Для решения выражения $(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{4}) \cdot \sqrt[3]{6}$ применим распределительный закон умножения $a(b-c) = ab - ac$:

$(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{4}) \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{6}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{36 \cdot 6} - \sqrt[3]{4 \cdot 6} = \sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{24}$

Упростим каждый корень, извлекая множители из-под знака корня:

$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$6 - 2\sqrt[3]{3}$

Ответ: $6 - 2\sqrt[3]{3}$

в) Чтобы вычислить произведение $\sqrt[3]{\frac{192}{49}} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{7}}$, объединим дроби под один знак корня, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{\frac{192}{49} \cdot \frac{9}{7}} = \sqrt[3]{\frac{192 \cdot 9}{49 \cdot 7}}$

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители для упрощения:

$192 \cdot 9 = (64 \cdot 3) \cdot 9 = 64 \cdot 27 = 4^3 \cdot 3^3 = (4 \cdot 3)^3 = 12^3$

$49 \cdot 7 = 7^2 \cdot 7 = 7^3$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$\sqrt[3]{\frac{12^3}{7^3}} = \sqrt[3]{(\frac{12}{7})^3}$

Извлечем кубический корень:

$\frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$

г) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{15}) \cdot \sqrt[3]{25}$ используем распределительный закон $a(b+c) = ab + ac$:

$(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{15}) \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{15} \cdot \sqrt[3]{25}$

Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{5 \cdot 25} + \sqrt[3]{15 \cdot 25} = \sqrt[3]{125} + \sqrt[3]{375}$

Упростим каждый корень:

$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$

$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{125 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$

Сложим полученные значения:

$5 + 5\sqrt[3]{3}$

Ответ: $5 + 5\sqrt[3]{3}$