Номер 14.17, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.17 Исследуйте функцию на чётность, воспользовавшись соответствующим алгоритмом:

а) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x};$

б) $y = x \cdot \sqrt[3]{x} + x^{-4} + 2.$

а)

Чтобы исследовать функцию $y(x) = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}$ на чётность, применим стандартный алгоритм.

1. Найдём область определения функции $D(y)$.
Выражение $x^2$ определено для всех действительных чисел. Кубический корень $\sqrt[3]{x}$ также определен для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат, что является необходимым условием для чётности или нечётности функции.

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$, то есть $y(-x)$.
Подставим $-x$ вместо $x$ в формулу функции:
$y(-x) = (-x)^2 \cdot \sqrt[3]{-x}$

3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$.
Используем свойства степеней и корней: $(-x)^2 = x^2$ и $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.
$y(-x) = x^2 \cdot (-\sqrt[3]{x}) = -(x^2 \cdot \sqrt[3]{x})$
Мы видим, что полученное выражение равно исходной функции, взятой со знаком минус:
$y(-x) = -y(x)$
Согласно определению, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, то функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

б)

Исследуем на чётность функцию $y(x) = x \cdot \sqrt[3]{x} + x^{-4} + 2$.

1. Найдём область определения функции $D(y)$.
Слагаемое $x^{-4}$ можно записать в виде $\frac{1}{x^4}$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^4 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Остальные слагаемые ($x \cdot \sqrt[3]{x}$ и $2$) определены для всех действительных $x$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$, то есть $y(-x)$.
$y(-x) = (-x) \cdot \sqrt[3]{-x} + (-x)^{-4} + 2$

3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$.
Упростим полученное выражение, проанализировав каждое слагаемое:
- Первое слагаемое: $(-x) \cdot \sqrt[3]{-x} = (-x) \cdot (-\sqrt[3]{x}) = x \cdot \sqrt[3]{x}$.
- Второе слагаемое: $(-x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$.
- Третье слагаемое (константа) не изменяется.
Собрав всё вместе, получаем:
$y(-x) = x \cdot \sqrt[3]{x} + x^{-4} + 2$
Видно, что $y(-x)$ в точности совпадает с $y(x)$:
$y(-x) = y(x)$
Согласно определению, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, то функция является чётной.

Ответ: функция чётная.