Номер 14.15, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.15 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ на заданном промежутке:

а) [1; 8];

б) (-8; 0];

в) [-27; 64];

г) [0,125; $+\infty$).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sqrt[3]{x}$ на заданных промежутках, необходимо исследовать ее на монотонность.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел. Найдем ее производную:
$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Так как производная $y'(x) > 0$ при всех $x \neq 0$, а в точке $x=0$ функция непрерывна, то функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Для строго возрастающей функции наименьшее и наибольшее значения на промежутке (если они существуют) достигаются на его концах.

а) На промежутке $[1; 8]$:

Это замкнутый отрезок. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, а наибольшее — в правой точке $x=8$.
Наименьшее значение: $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$.
Наибольшее значение: $y(8) = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.

б) На промежутке $(-8; 0]$:

Это полуинтервал, замкнутый справа. Наибольшее значение достигается в правой точке $x=0$, так как она включена в промежуток.
Наибольшее значение: $y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$.
Левая точка $x=-8$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к $-8$ справа, значения функции $y(x)$ стремятся к $\sqrt[3]{-8}=-2$, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшего значения не существует.

в) На промежутке $[-27; 64]$:

Это замкнутый отрезок. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=-27$, а наибольшее — в правой точке $x=64$.
Наименьшее значение: $y(-27) = \sqrt[3]{-27} = -3$.
Наибольшее значение: $y(64) = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 4.

г) На промежутке $[0,125; +\infty)$:

Это луч, замкнутый слева. Наименьшее значение достигается в его начальной точке $x=0,125$.
Наименьшее значение: $y(0,125) = \sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{(0,5)^3} = 0,5$.
Поскольку промежуток неограничен справа, функция на нем неограниченно возрастает ($y \to +\infty$), и, следовательно, наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 0,5, наибольшего значения не существует.