Номер 14.9, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

14.9 а) $\frac{1}{\sqrt[3]{7}}$;

б) $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$;

в) $\frac{5}{\sqrt[3]{5}}$;

г) $\frac{6}{\sqrt[3]{9}}$.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо домножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе исчез знак корня. Для знаменателя вида $ \sqrt[3]{a} $ домножающим выражением будет $ \sqrt[3]{a^2} $, так как $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a^3} = a $.

а) В дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{7}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{7} $. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49} $.

$ \frac{1}{\sqrt[3]{7}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7^2}} = \frac{\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7^3}} = \frac{\sqrt[3]{49}}{7} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{49}}{7} $.

б) В дроби $ \frac{2}{\sqrt[3]{4}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{4} $. Можно представить $ 4 $ как $ 2^2 $, тогда знаменатель будет $ \sqrt[3]{2^2} $. Чтобы получить под корнем $ 2^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{2} $.

$ \frac{2}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2} $

Ответ: $ \sqrt[3]{2} $.

в) В дроби $ \frac{5}{\sqrt[3]{5}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{5} $. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25} $.

$ \frac{5}{\sqrt[3]{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{5\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5} = \sqrt[3]{25} $

Ответ: $ \sqrt[3]{25} $.

г) В дроби $ \frac{6}{\sqrt[3]{9}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{9} $. Можно представить $ 9 $ как $ 3^2 $, тогда знаменатель будет $ \sqrt[3]{3^2} $. Чтобы получить под корнем $ 3^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{3} $.

$ \frac{6}{\sqrt[3]{9}} = \frac{6}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{3} = 2\sqrt[3]{3} $

Ответ: $ 2\sqrt[3]{3} $.