Номер 14.5, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Функция y=∛x, её свойства и график. Глава 3. Числовые функции. ч. 2 - номер 14.5, страница 85.

14.5 a) $\sqrt[3]{125x^4}$;

б) $\sqrt[3]{-128x^7}$;

в) $\sqrt[3]{81a^5}$;

г) $\sqrt[3]{-512a^8}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{125x^4}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, которые являются полными кубами.

Число $125$ является кубом числа $5$, так как $5^3 = 125$. Переменную в степени $x^4$ можно представить в виде произведения $x^3 \cdot x$, где $x^3$ является полным кубом.

Подставим эти разложения в исходное выражение: $\sqrt[3]{125x^4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot x^3 \cdot x}$

Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, вынесем множители из-под знака корня: $\sqrt[3]{5^3 \cdot x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = 5 \cdot x \cdot \sqrt[3]{x} = 5x\sqrt[3]{x}$

Ответ: $5x\sqrt[3]{x}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{-128x^7}$. Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными кубами.

Число $-128$ можно представить как произведение $-64 \cdot 2$, где $-64$ является кубом числа $-4$, так как $(-4)^3 = -64$. Переменную $x^7$ можно представить как $x^6 \cdot x$, где $x^6 = (x^2)^3$ является полным кубом.

Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{-128x^7} = \sqrt[3]{-64 \cdot 2 \cdot x^6 \cdot x}$

Сгруппируем множители и вынесем их из-под знака корня: $\sqrt[3]{(-64 \cdot x^6) \cdot (2 \cdot x)} = \sqrt[3]{-64} \cdot \sqrt[3]{x^6} \cdot \sqrt[3]{2x} = -4 \cdot x^2 \cdot \sqrt[3]{2x} = -4x^2\sqrt[3]{2x}$

Ответ: $-4x^2\sqrt[3]{2x}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{81a^5}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня.

Число $81$ можно представить как $27 \cdot 3$, где $27$ является кубом числа $3$, так как $3^3 = 27$. Переменную $a^5$ можно представить как $a^3 \cdot a^2$, где $a^3$ является полным кубом.

Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{81a^5} = \sqrt[3]{27 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot a^2}$

Сгруппируем множители и вынесем полные кубы из-под знака корня: $\sqrt[3]{(27 \cdot a^3) \cdot (3 \cdot a^2)} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{3a^2} = 3 \cdot a \cdot \sqrt[3]{3a^2} = 3a\sqrt[3]{3a^2}$

Ответ: $3a\sqrt[3]{3a^2}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[3]{-512a^8}$. Вынесем множители из-под знака корня.

Число $-512$ является полным кубом, так как $(-8)^3 = -512$. Переменную $a^8$ можно представить как $a^6 \cdot a^2$, где $a^6 = (a^2)^3$ является полным кубом.

Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{-512a^8} = \sqrt[3]{-512 \cdot a^6 \cdot a^2}$

Вынесем множители, являющиеся полными кубами: $\sqrt[3]{-512} \cdot \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{a^2} = -8 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = -8a^2\sqrt[3]{a^2}$

Ответ: $-8a^2\sqrt[3]{a^2}$