Номер 14.8, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.8 Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{a^6}$;

б) $\sqrt[3]{-27b^3}$;

в) $\sqrt[3]{8a^9b^{12}}$;

г) $\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{a^6}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$.

Другой способ — представить подкоренное выражение в виде куба некоторого выражения. Поскольку $a^6 = (a^2)^3$, то:

$\sqrt[3]{a^6} = \sqrt[3]{(a^2)^3} = a^2$.

Ответ: $a^2$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{-27b^3}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$.

$\sqrt[3]{-27b^3} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{b^3}$.

Вычислим каждый множитель отдельно:

$\sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.

$\sqrt[3]{b^3} = b$.

Перемножим результаты:

$-3 \cdot b = -3b$.

Также можно представить подкоренное выражение как куб: $-27b^3 = (-3b)^3$.

$\sqrt[3]{-27b^3} = \sqrt[3]{(-3b)^3} = -3b$.

Ответ: $-3b$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{8a^9b^{12}}$, используя свойство корня из произведения.

$\sqrt[3]{8a^9b^{12}} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{b^{12}}$.

Вычислим каждый множитель:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

$\sqrt[3]{a^9} = a^{\frac{9}{3}} = a^3$.

$\sqrt[3]{b^{12}} = b^{\frac{12}{3}} = b^4$.

Объединим полученные результаты:

$2 \cdot a^3 \cdot b^4 = 2a^3b^4$.

Альтернативно, представим подкоренное выражение как куб: $8a^9b^{12} = (2a^3b^4)^3$.

$\sqrt[3]{8a^9b^{12}} = \sqrt[3]{(2a^3b^4)^3} = 2a^3b^4$.

Ответ: $2a^3b^4$

г)

Упростим выражение $\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9}$ по аналогии с предыдущими пунктами.

$\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9} = \sqrt[3]{-64} \cdot \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^3} \cdot \sqrt[3]{c^9}$.

Вычислим каждый множитель по отдельности:

$\sqrt[3]{-64} = -4$, так как $(-4)^3 = -64$.

$\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$.

$\sqrt[3]{b^3} = b$.

$\sqrt[3]{c^9} = c^{\frac{9}{3}} = c^3$.

Перемножим результаты:

$-4 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^3 = -4a^2bc^3$.

Альтернативный способ: $-64a^6b^3c^9 = (-4a^2bc^3)^3$.

$\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9} = \sqrt[3]{(-4a^2bc^3)^3} = -4a^2bc^3$.

Ответ: $-4a^2bc^3$