Номер 14.3, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14.3 a) $\sqrt[3]{54}$;

б) $\sqrt[3]{-432}$;

в) $\sqrt[3]{56}$;

г) $\sqrt[3]{-375}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{54}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное число 54 на множители таким образом, чтобы один из них был точным кубом.

Разложим число 54 на простые множители: $54 = 2 \cdot 27$. Число 27 является кубом числа 3, так как $3^3 = 27$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, выносим множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{-432}$. Поскольку корень нечетной степени, знак минус можно вынести за знак корня:

$\sqrt[3]{-432} = -\sqrt[3]{432}$

Далее разложим число 432 на множители, чтобы выделить среди них наибольший возможный точный куб. Проверим делимость на кубы целых чисел: $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$, $6^3=216$.

Видно, что 432 делится на 216: $432 = 216 \cdot 2$.

Подставим это разложение в наше выражение:

$-\sqrt[3]{432} = -\sqrt[3]{216 \cdot 2} = -(\sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{2}) = -(\sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{2}) = -6\sqrt[3]{2}$

Ответ: $-6\sqrt[3]{2}$.

в) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{56}$ разложим число 56 на множители. Нам нужно найти множитель, являющийся точным кубом.

Разложение 56 на множители: $56 = 8 \cdot 7$. Число 8 является кубом числа 2, так как $2^3 = 8$.

Перепишем выражение с учетом этого:

$\sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{8 \cdot 7}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$

Ответ: $2\sqrt[3]{7}$.

г) Упростим выражение $\sqrt[3]{-375}$. Так как корень нечетной степени, минус можно вынести за знак корня:

$\sqrt[3]{-375} = -\sqrt[3]{375}$

Теперь разложим на множители число 375. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5. Проверим делимость на куб числа 5, то есть на 125.

$375 = 125 \cdot 3$.

Подставим это разложение в выражение:

$-\sqrt[3]{375} = -\sqrt[3]{125 \cdot 3} = -(\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{3}) = -(\sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3}) = -5\sqrt[3]{3}$

Ответ: $-5\sqrt[3]{3}$.