Номер 13.22, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.22 Решите графически неравенство:

а) $x^{-2} > 2x - 1;$

б) $x^{-3} \leq \sqrt{x};$

в) $x^{-2} \leq 2x - 1;$

г) $x^{-3} > \sqrt{x}.

а) $x^{-2} > 2x - 1$

Чтобы решить неравенство графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-2}$ и $y = 2x - 1$. Нам нужно найти те значения $x$, при которых график первой функции находится выше графика второй.

1. График функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.Это четная функция, ее область определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. График симметричен относительно оси OY и расположен в I и II координатных четвертях. Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной асимптотой.

2. График функции $y = 2x - 1$.Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой найдем две точки:Если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.Если $y = 0$, то $2x - 1 = 0$, $x = 0.5$. Точка $(0.5, 0)$.

3. Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^{-2} = 2x - 1$.$$ \frac{1}{x^2} = 2x - 1 $$Поскольку $x=0$ не входит в область определения, можно умножить обе части на $x^2$:$$ 1 = 2x^3 - x^2 $$$$ 2x^3 - x^2 - 1 = 0 $$Заметим, что $x=1$ является корнем уравнения: $2(1)^3 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$.Разделим многочлен $2x^3 - x^2 - 1$ на $(x-1)$:$(2x^3 - x^2 - 1) : (x-1) = 2x^2 + x + 1$.Получаем уравнение $(x-1)(2x^2 + x + 1) = 0$.Квадратное уравнение $2x^2 + x + 1 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 < 0$.Следовательно, у графиков только одна точка пересечения при $x=1$. Ордината точки: $y = 2(1) - 1 = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

4. Решение неравенства.Неравенство $x^{-2} > 2x - 1$ выполняется, когда график $y = x^{-2}$ лежит выше прямой $y = 2x - 1$.При $x < 0$ график $y = x^{-2}$ всегда положителен, а прямая $y = 2x - 1$ отрицательна (так как $2x-1 < 0$ при $x < 0.5$), поэтому на всем промежутке $(-\infty, 0)$ неравенство выполняется.При $x > 0$ график $y = x^{-2}$ находится выше прямой $y = 2x - 1$ на интервале от $0$ до точки их пересечения $x=1$.Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

б) $x^{-3} \le \sqrt{x}$

Для графического решения неравенства построим графики функций $y = x^{-3}$ и $y = \sqrt{x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).Функция $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ определена при $x \neq 0$.Функция $y = \sqrt{x}$ определена при $x \ge 0$.ОДЗ для неравенства: $x > 0$. Таким образом, мы рассматриваем графики только в первой координатной четверти.

2. График функции $y = x^{-3}$ (для $x > 0$) — это ветвь кривой, убывающей в первой четверти. Проходит через точку $(1, 1)$.

3. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, ветви которой направлены вправо. График выходит из начала координат и проходит через точку $(1, 1)$.

4. Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $x^{-3} = \sqrt{x}$ на ОДЗ.$$ \frac{1}{x^3} = \sqrt{x} $$$$ 1 = x^3 \cdot \sqrt{x} = x^3 \cdot x^{1/2} = x^{3.5} $$$$ x^{7/2} = 1 $$Возведя обе части в степень $2/7$, получаем $x = 1$.Точка пересечения — $(1, 1)$.

5. Решение неравенства.Неравенство $x^{-3} \le \sqrt{x}$ выполняется, когда график $y = x^{-3}$ лежит на или ниже графика $y = \sqrt{x}$.Сравнивая графики, видим, что при $x > 1$ кривая $y=x^{-3}$ находится ниже кривой $y=\sqrt{x}$. В точке $x=1$ значения функций равны. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

в) $x^{-2} \le 2x - 1$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта а). Мы используем те же графики функций $y = x^{-2}$ и $y = 2x - 1$ и ту же точку их пересечения $(1, 1)$.

Неравенство $x^{-2} \le 2x - 1$ выполняется, когда график функции $y = x^{-2}$ лежит на или ниже графика функции $y = 2x - 1$.Из анализа, проведенного в пункте а), следует, что это происходит, когда $x$ больше или равен абсциссе точки пересечения.Точка пересечения имеет абсциссу $x=1$. При $x > 1$ прямая $y = 2x - 1$ лежит выше кривой $y = x^{-2}$. В точке $x=1$ их значения равны.Таким образом, решение неравенства — это промежуток, начиная с точки пересечения и далее.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

г) $x^{-3} > \sqrt{x}$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта б). Мы используем те же графики функций $y = x^{-3}$ и $y = \sqrt{x}$, ту же ОДЗ ($x>0$) и ту же точку пересечения $(1, 1)$.

Неравенство $x^{-3} > \sqrt{x}$ выполняется, когда график функции $y = x^{-3}$ лежит строго выше графика функции $y = \sqrt{x}$.Из анализа, проведенного в пункте б), следует, что на интервале $(0, 1)$ график $y=x^{-3}$ находится выше графика $y=\sqrt{x}$. В точке $x=1$ значения равны, поэтому она не включается в решение.Таким образом, решение неравенства — это интервал от $0$ до $1$, не включая концы.

Ответ: $x \in (0, 1)$.