Номер 13.18, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.18 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = x^2 - 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^2}, \\ y = 2 - x^2; \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = x^{-4}, \\ y = 4 - x^4; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^3}, \\ y = x^3 + 3. \end{cases}$

a)

Чтобы найти число решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^{-3} \\ y = x^2 - 4 \end{cases}$, нужно определить количество точек пересечения графиков функций $y = x^{-3}$ и $y = x^2 - 4$. Это эквивалентно нахождению числа действительных корней уравнения $x^{-3} = x^2 - 4$.

Приведем уравнение к целому виду, умножив обе части на $x^3$ (при условии, что $x \neq 0$):

$1 = x^3(x^2 - 4)$

$1 = x^5 - 4x^3$

$x^5 - 4x^3 - 1 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 - 4x^3 - 1$. Число решений системы равно числу корней этого уравнения. Для анализа числа корней найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 - 4x^3 - 1)' = 5x^4 - 12x^2 = x^2(5x^2 - 12)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $x^2(5x^2 - 12) = 0$.

Отсюда $x=0$ или $5x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{12}{5} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{12}{5}}$.

Исследуем поведение функции $f(x)$ на интервалах, определенных критическими точками:

1. При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$.

2. В точке локального максимума $x = -\sqrt{\frac{12}{5}}$, значение функции $f(-\sqrt{\frac{12}{5}}) = (-\sqrt{\frac{12}{5}})^5 - 4(-\sqrt{\frac{12}{5}})^3 - 1 = (-\frac{12}{5})^{\frac{3}{2}}(-\frac{12}{5}+4)-1 = (-\frac{12}{5})^{\frac{3}{2}}(\frac{8}{5})-1$. Это значение положительно, так как $f(-\sqrt{\frac{12}{5}}) = (-\sqrt{\frac{12}{5}})^3((\frac{12}{5})-4)-1 = (-\sqrt{\frac{12}{5}})^3(-\frac{8}{5})-1 > 0$. Поскольку функция непрерывна и переходит от отрицательных значений к положительным, на интервале $(-\infty, -\sqrt{12/5})$ есть один корень.

3. В точке $x=0$, $f(0) = -1$. Так как $f(-\sqrt{12/5})>0$ и $f(0)<0$, на интервале $(-\sqrt{12/5}, 0)$ есть второй корень.

4. В точке локального минимума $x = \sqrt{\frac{12}{5}}$, значение функции $f(\sqrt{\frac{12}{5}}) < 0$.

5. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. Так как $f(\sqrt{12/5})<0$ и при $x \to \infty$ функция уходит в бесконечность, на интервале $(\sqrt{12/5}, +\infty)$ есть третий корень.

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня, что означает, что система имеет три решения.

Ответ: 3.

б)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = \frac{1}{x^2} \\ y = 2 - x^2 \end{cases}$.

Число решений системы равно числу действительных корней уравнения, полученного приравниванием правых частей:

$\frac{1}{x^2} = 2 - x^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} = 2 - t$.

Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$):

$1 = 2t - t^2$.

Перенесем все члены в одну часть:

$t^2 - 2t + 1 = 0$.

Это формула квадрата разности:

$(t - 1)^2 = 0$.

Отсюда получаем единственное решение для $t$: $t=1$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = 1$.

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

в)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^{-4} \\ y = 4 - x^4 \end{cases}$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$x^{-4} = 4 - x^4$ или $\frac{1}{x^4} = 4 - x^4$.

Пусть $t = x^4$. Поскольку $x$ в четной степени, $x^4 > 0$ для любого действительного $x \neq 0$. Значит, $t > 0$.

Уравнение в терминах $t$ выглядит так:

$\frac{1}{t} = 4 - t$.

Умножим на $t$:

$1 = 4t - t^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 4t + 1 = 0$.

Найдем его корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Мы получили два значения для $t$:

$t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Оба корня положительны, так как $\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1. $x^4 = t_1 = 2 + \sqrt{3}$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[4]{2 + \sqrt{3}}$.

2. $x^4 = t_2 = 2 - \sqrt{3}$. Это уравнение также имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[4]{2 - \sqrt{3}}$.

Всего мы получили четыре различных действительных корня для $x$. Следовательно, система имеет четыре решения.

Ответ: 4.

г)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = \frac{1}{x^3} \\ y = x^3 + 3 \end{cases}$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{x^3} = x^3 + 3$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^3$. Переменная $t$ может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} = t + 3$.

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$):

$1 = t^2 + 3t$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 3t - 1 = 0$.

Найдем его корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

$t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Мы получили два различных действительных значения для $t$:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$ и $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$.

Оба корня не равны нулю, поэтому замена корректна.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1. $x^3 = t_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$. Уравнение вида $x^3 = a$ всегда имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[3]{a}$.

2. $x^3 = t_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$. Это уравнение также имеет ровно один действительный корень.

Поскольку мы получили два различных действительных значения для $t=x^3$, существует два различных действительных корня для $x$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.