Номер 13.14, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.14 $y = \begin{cases} -2(x + 1)^2 + 2, & \text{если } -2 \leq x \leq 0; \\ x^{-12}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции.

Функция задана как $y = \begin{cases} -2(x + 1)^2 + 2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ x^{-12}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Построение графика функции

График состоит из двух частей, определенных на разных промежутках.

1. Рассмотрим функцию $y = -2(x + 1)^2 + 2$ на отрезке $[-2, 0]$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при квадратичном члене равен -2 (отрицательный). Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = -1$, $y_v = 2$. Точка $(-1, 2)$ является точкой максимума функции на данном отрезке.

Найдем значения функции на границах отрезка:

• При $x = -2$: $y(-2) = -2(-2+1)^2 + 2 = -2(-1)^2 + 2 = -2 + 2 = 0$. График проходит через точку $(-2, 0)$.
• При $x = 0$: $y(0) = -2(0+1)^2 + 2 = -2(1)^2 + 2 = -2 + 2 = 0$. График проходит через точку $(0, 0)$.

Таким образом, на отрезке $[-2, 0]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-1, 2)$ и концами в точках $(-2, 0)$ и $(0, 0)$.

2. Рассмотрим функцию $y = x^{-12} = \frac{1}{x^{12}}$ на интервале $(0, +\infty)$.

Эта функция положительна и убывает на всем интервале. Проанализируем ее поведение на границах интервала:

• При $x \to 0^+$ (справа), $x^{12} \to 0$, следовательно, $y = \frac{1}{x^{12}} \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
• При $x \to +\infty$, $x^{12} \to +\infty$, следовательно, $y = \frac{1}{x^{12}} \to 0$. Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

Для более точного построения найдем контрольную точку: при $x=1$, $y(1) = 1^{-12} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

Определение количества общих точек графика с прямой y=m

Предполагаемая задача состоит в том, чтобы определить, при каких значениях параметра $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения $m$.

• При $m > 2$: прямая $y=m$ пересекает только вторую часть графика ($y = 1/x^{12}$), так как максимальное значение на первой части равно 2. Это дает одну точку пересечения.
• При $m = 2$: прямая $y=2$ касается параболы в ее вершине $(-1, 2)$ (одна точка) и пересекает вторую часть графика в одной точке. Итого две точки пересечения.
• При $0 < m < 2$: прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках и вторую часть графика в одной точке. Итого три точки пересечения.
• При $m = 0$: прямая $y=0$ пересекает параболу в двух точках $(-2, 0)$ и $(0, 0)$. Со второй частью графика ($y>0$) пересечений нет. Итого две точки пересечения.
• При $m < 0$: прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком, так как значения функции на всей области определения неотрицательны ($y \ge 0$). Ноль точек пересечения.

Следовательно, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=0$ и $m=2$.

Ответ: $0; 2$.