Номер 13.11, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.11 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^5}, \\ y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{-6}, \\ y = 3 - 2x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^8}, \\ y = x^4 - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^{-7}, \\ y = \sqrt{x}. \end{cases}$

а) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x^5} \\ y = 2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков:

$ \frac{1}{x^5} = 2 $

Из этого уравнения следует, что $x^5$ не равно нулю. Умножим обе части на $x^5$:

$ 1 = 2x^5 $

Отсюда находим $x^5$:

$ x^5 = \frac{1}{2} $

Это уравнение имеет один действительный корень:

$ x = \sqrt[5]{\frac{1}{2}} $

Поскольку мы нашли единственное значение $x$, которому соответствует единственное значение $y=2$, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

б) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^{-6} \\ y = 3 - 2x^2 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение как $y = \frac{1}{x^6}$. Приравняем правые части уравнений:

$ \frac{1}{x^6} = 3 - 2x^2 $

Заметим, что $x \ne 0$. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x \ne 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$ \frac{1}{t^3} = 3 - 2t $

Умножим обе части на $t^3$ (поскольку $t > 0$, то $t^3 \ne 0$):

$ 1 = t^3(3 - 2t) $

$ 1 = 3t^3 - 2t^4 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2t^4 - 3t^3 + 1 = 0 $

Можно заметить, что $t=1$ является корнем, так как $2(1)^4 - 3(1)^3 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$. Разделим многочлен на $(t - 1)$:

$ (t - 1)(2t^3 - t^2 - t - 1) = 0 $

Теперь исследуем уравнение $2t^3 - t^2 - t - 1 = 0$ на наличие положительных корней. Пусть $g(t) = 2t^3 - t^2 - t - 1$.

Заметим, что $g(1) = 2 - 1 - 1 - 1 = -1$. При $t \to +\infty$, $g(t) \to +\infty$.

Поскольку функция $g(t)$ непрерывна и на интервале $(1, +\infty)$ меняет знак с минуса на плюс, по теореме о промежуточном значении на этом интервале существует как минимум один корень. Исследуем производную $g'(t) = 6t^2 - 2t - 1$. Положительный корень производной равен $t_c = \frac{1 + \sqrt{7}}{6} \approx 0.61$. При $t > t_c$, функция $g(t)$ монотонно возрастает. Так как $1 > t_c$, то на интервале $(1, +\infty)$ функция $g(t)$ строго возрастает, а значит, может иметь не более одного корня. Следовательно, существует ровно один корень $t_2 > 1$.

Итак, уравнение для $t$ имеет два положительных корня: $t_1 = 1$ и $t_2 > 1$.

Возвращаемся к замене $t = x^2$:

1. $x^2 = t_1 = 1 \implies x = \pm 1$. Это два решения.

2. $x^2 = t_2$ (где $t_2 > 1$) $\implies x = \pm \sqrt{t_2}$. Это еще два решения.

Всего система имеет 4 различных решения.

Ответ: 4.

в) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x^8} \\ y = x^4 - 1 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$ \frac{1}{x^8} = x^4 - 1 $

Из первого уравнения $y = \frac{1}{x^8}$ следует, что $y$ должен быть положительным ($y > 0$), так как $x^8 > 0$ для любого $x \ne 0$. Тогда из второго уравнения $y = x^4 - 1$ также следует, что $x^4 - 1 > 0$, то есть $x^4 > 1$.

Сделаем замену $t = x^4$. Условие $x^4 > 1$ означает, что $t > 1$. Уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{t^2} = t - 1 $

$ 1 = t^2(t - 1) \implies t^3 - t^2 - 1 = 0 $

Нам нужно найти количество корней этого уравнения при $t > 1$. Рассмотрим функцию $f(t) = t^3 - t^2 - 1$.

Ее производная $f'(t) = 3t^2 - 2t = t(3t - 2)$. При $t > 1$, производная $f'(t)$ всегда положительна. Это значит, что функция $f(t)$ строго возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

Найдем значение функции на левой границе интервала: $f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1$.

Так как функция непрерывна, строго возрастает от отрицательного значения $f(1)=-1$ до $+\infty$ при $t \to +\infty$, она пересечет ось абсцисс ровно один раз. Следовательно, существует единственный корень $t_0$, и $t_0 > 1$.

Вернемся к замене $t = x^4$:

$ x^4 = t_0 $

Поскольку $t_0 > 0$, это уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt[4]{t_0}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

г) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^{-7} \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Перепишем систему как:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x^7} \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из уравнения $y = \sqrt{x}$ следует, что $x \ge 0$. Из уравнения $y = \frac{1}{x^7}$ следует, что $x \ne 0$. Таким образом, ОДЗ для $x$ есть $x > 0$.

Приравняем правые части уравнений:

$ \frac{1}{x^7} = \sqrt{x} $

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и умножим обе части на $x^7$ (что возможно, так как $x > 0$):

$ 1 = x^{1/2} \cdot x^7 $

Используя свойство степеней, сложим показатели:

$ 1 = x^{7 + 1/2} = x^{15/2} $

Единственным положительным решением этого уравнения является $x=1$.

Это значение входит в ОДЗ. При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.