Номер 13.8, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.8 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-5}$:

а) на отрезке $[-2; -1];

б) на луче $(-\infty; -\frac{1}{2}];

в) на полуинтервале $(\frac{1}{2}; 4];

г) на луче $[2; +\infty)$.

Для решения задачи проанализируем функцию $y = x^{-5}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^5}$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, чтобы определить промежутки монотонности:

$y' = (x^{-5})' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Поскольку $x^6 > 0$ для любого $x \neq 0$, производная $y' = -\frac{5}{x^6}$ всегда отрицательна на всей области определения. Это означает, что функция $y = x^{-5}$ является строго убывающей на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [-2; -1]

Данный отрезок $[-2; -1]$ полностью находится в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в точке $a$, а наименьшее — в точке $b$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{-5} = \frac{1}{(-1)^5} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1$, наибольшее значение $y_{наиб} = -\frac{1}{32}$.

б) на луче $(-\infty; -\frac{1}{2}]$

Данный луч $(-\infty; -\frac{1}{2}]$ находится в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, то есть при $x = -\frac{1}{2}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-5} = (-2)^5 = -32$.

Наибольшего значения на этом луче не существует. При $x \to -\infty$, значение функции $y = \frac{1}{x^5}$ стремится к 0, но никогда не достигает его. Таким образом, множество значений функции на этом луче - это полуинтервал $[-32; 0)$, который не имеет максимального элемента.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -32$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале $(\frac{1}{2}; 4]$

Данный полуинтервал $(\frac{1}{2}; 4]$ находится в промежутке $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Наименьшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, то есть при $x=4$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = 4^{-5} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024}$.

Наибольшего значения на этом полуинтервале не существует, так как левая граница $x = \frac{1}{2}$ не включена. При $x$, стремящемся к $\frac{1}{2}$ справа, значения функции стремятся к $y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-5} = 2^5 = 32$, но не достигают этого значения. Множество значений функции - $[\frac{1}{1024}; 32)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = \frac{1}{1024}$, наибольшего значения не существует.

г) на луче $[2; +\infty)$

Данный луч $[2; +\infty)$ находится в промежутке $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Следовательно, наибольшее значение будет достигаться в самой левой точке промежутка, то есть при $x=2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Наименьшего значения на этом луче не существует. При $x \to +\infty$, значение функции $y = \frac{1}{x^5}$ стремится к 0, но никогда не достигает его. Множество значений функции на этом луче - это полуинтервал $(0; \frac{1}{32}]$, который не имеет минимального элемента.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{32}$, наименьшего значения не существует.