Номер 13.15, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.15 Чему равно $n$, если известно, что график степенной функции $y = x^{-n}$ проходит через заданную точку:

a) $(2; \frac{1}{256});$

б) $(-2; -\frac{1}{32});$

в) $(7; \frac{1}{343});$

г) $(\frac{1}{5}; 625)?$

а)

Для того чтобы найти значение $n$, необходимо подставить координаты заданной точки $(2; \frac{1}{256})$ в уравнение степенной функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = 2$ и $y = \frac{1}{256}$:
$\frac{1}{256} = 2^{-n}$
Используя свойство степени $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, преобразуем правую часть уравнения:
$\frac{1}{256} = \frac{1}{2^n}$
Из этого равенства следует, что знаменатели дробей равны:
$2^n = 256$
Теперь представим число 256 как степень двойки. Мы знаем, что $2^8 = 256$.
$2^n = 2^8$
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны.
$n = 8$

Ответ: $8$.

б)

Подставим координаты точки $(-2; -\frac{1}{32})$ в уравнение функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = -2$ и $y = -\frac{1}{32}$:
$-\frac{1}{32} = (-2)^{-n}$
Используя свойство $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, получаем:
$-\frac{1}{32} = \frac{1}{(-2)^n}$
Из этого равенства выразим $(-2)^n$:
$(-2)^n = \frac{1}{-\frac{1}{32}} = -32$
Теперь необходимо найти, в какую степень нужно возвести $-2$, чтобы получить $-32$. Так как результат отрицательный, показатель степени $n$ должен быть нечетным.
$(-2)^5 = -32$
Значит, мы можем записать:
$(-2)^n = (-2)^5$
Отсюда $n = 5$.

Ответ: $5$.

в)

Подставим координаты точки $(7; \frac{1}{343})$ в уравнение функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = 7$ и $y = \frac{1}{343}$:
$\frac{1}{343} = 7^{-n}$
Перепишем уравнение, используя свойство отрицательной степени:
$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^n}$
Отсюда следует, что:
$7^n = 343$
Представим 343 как степень числа 7. Мы знаем, что $7^3 = 343$.
$7^n = 7^3$
Следовательно, $n = 3$.

Ответ: $3$.

г)

Подставим координаты точки $(\frac{1}{5}; 625)$ в уравнение функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = \frac{1}{5}$ и $y = 625$:
$625 = (\frac{1}{5})^{-n}$
Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$:
$625 = (\frac{5}{1})^n = 5^n$
Таким образом, мы получили уравнение:
$5^n = 625$
Представим 625 как степень числа 5. Мы знаем, что $5^4 = 625$.
$5^n = 5^4$
Следовательно, $n = 4$.

Ответ: $4$.