Номер 13.19, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.19 Не выполняя построения графика функции $y=(x+2)^{-3}-1$, укажите:

а) область определения и область значений функции;

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции;

в) уравнения асимптот;

г) координаты центра симметрии графика функции.

Данная функция $y = (x+2)^{-3} - 1$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{(x+2)^3} - 1$. Её график получается из графика базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$ путем следующих преобразований: сдвиг на 2 единицы влево по оси абсцисс ($Ox$) и сдвиг на 1 единицу вниз по оси ординат ($Oy$). Проанализируем свойства функции, основываясь на этих преобразованиях и виде самой функции.

а) область определения и область значений функции

Область определения $D(y)$: Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель выражения не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $(x+2)^3$. Условие: $(x+2)^3 \neq 0 \implies x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Область значений $E(y)$: Рассмотрим выражение $\frac{1}{(x+2)^3}$. Поскольку числитель равен 1, это выражение никогда не может быть равно нулю. То есть, $\frac{1}{(x+2)^3} \neq 0$. Тогда значение функции $y = \frac{1}{(x+2)^3} - 1$ никогда не может быть равно $0 - 1 = -1$. Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $-1$. $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции

Промежутки монотонности: Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: $y' = \left((x+2)^{-3} - 1\right)' = -3(x+2)^{-4} \cdot (x+2)' = -3(x+2)^{-4} = -\frac{3}{(x+2)^4}$. Знаменатель $(x+2)^4$ всегда положителен для любого $x$ из области определения ($x \neq -2$), так как представляет собой квадрат выражения $(x+2)^2$. Числитель $-3$ является отрицательным числом. Следовательно, производная $y' < 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения. Промежутки убывания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Сначала найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$: $\frac{1}{(x+2)^3} - 1 = 0 \implies \frac{1}{(x+2)^3} = 1 \implies (x+2)^3 = 1 \implies x+2 = 1 \implies x = -1$. Точка разрыва функции $x = -2$ и корень $x = -1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов.

• На интервале $(-\infty; -2)$ возьмем пробную точку $x=-3$: $y(-3) = \frac{1}{(-3+2)^3} - 1 = \frac{1}{-1} - 1 = -2 < 0$.
• На интервале $(-2; -1)$ возьмем пробную точку $x=-1.5$: $y(-1.5) = \frac{1}{(-1.5+2)^3} - 1 = \frac{1}{(0.5)^3} - 1 = \frac{1}{0.125} - 1 = 8 - 1 = 7 > 0$.
• На интервале $(-1; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=0$: $y(0) = \frac{1}{(0+2)^3} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8} < 0$.

Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-2; -1)$, и $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$; $y > 0$ при $x \in (-2; -1)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.

в) уравнения асимптот

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва функции, то есть при $x = -2$. Найдем односторонние пределы: $\lim_{x \to -2^-} \left(\frac{1}{(x+2)^3} - 1\right) = \left[\frac{1}{(-0)^3}\right] - 1 = -\infty - 1 = -\infty$. $\lim_{x \to -2^+} \left(\frac{1}{(x+2)^3} - 1\right) = \left[\frac{1}{(+0)^3}\right] - 1 = +\infty - 1 = +\infty$. Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{(x+2)^3} - 1\right)$. Так как при $x \to \pm\infty$, $(x+2)^3 \to \pm\infty$, то $\frac{1}{(x+2)^3} \to 0$. Следовательно, $\lim_{x \to \pm\infty} y = 0 - 1 = -1$. Прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -2$; горизонтальная асимптота: $y = -1$.

г) координаты центра симметрии графика функции

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ симметричен относительно начала координат, точки $(0; 0)$. График функции $y = \frac{1}{(x+2)^3} - 1$ получен из графика $y = \frac{1}{x^3}$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. При таком преобразовании центр симметрии также смещается. Его новые координаты: $x_c = 0 - 2 = -2$ $y_c = 0 - 1 = -1$ Таким образом, центр симметрии графика находится в точке $(-2; -1)$. Эта точка также является точкой пересечения вертикальной и горизонтальной асимптот.

Ответ: Координаты центра симметрии: $(-2; -1)$.