Номер 13.21, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13.21 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x \le -1; \\ x^3, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ \frac{1}{x^{28}}, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^{-3}, & \text{если } x \le -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ x^4, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

• На промежутке $(-\infty, -1]$ функция задана формулой $y = -1$. Её график — это луч, параллельный оси Ox, выходящий из точки $(-1, -1)$ и идущий влево. Точка $(-1, -1)$ принадлежит этому лучу.
• На промежутке $(-1, 1]$ функция задана формулой $y = x^3$. Её график — это часть кубической параболы. На концах промежутка имеем: при $x \to -1$, $y \to (-1)^3 = -1$. Точка $(-1, -1)$ не принадлежит этому участку (будет "выколотой"). При $x = 1$, $y = 1^3 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит этому участку. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
• На промежутке $(1, +\infty)$ функция задана формулой $y = \frac{1}{x^{28}}$. Её график — это ветвь функции, которая начинается в точке $(1, 1)$ (точка "выколотая", так как $x > 1$) и очень быстро убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox ($y \to 0$ при $x \to +\infty$).

Объединяя графики, видим, что в точке $x = -1$ разрыва нет, так как значение функции слева и справа стремится к $-1$. Аналогично, в точке $x = 1$ разрыва нет, так как значение функции слева и справа стремится к $1$. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой прямой.

Прочитаем график, перечислив основные свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
5. Промежутки монотонности: функция постоянна на промежутке $(-\infty; -1]$; возрастает на промежутке $[-1; 1]$; убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
6. Экстремумы: $x_{min} = -1$, $y_{min} = -1$ (глобальный минимум); $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$ (глобальный максимум).
7. Чётность, нечётность: функция не является ни чётной, ни нечётной, так как не симметрична ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: 1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Область значений $E(y) = [-1; 1]$. 3. Нуль функции: $x=0$. 4. $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$. 5. Функция постоянна на $(-\infty; -1]$, возрастает на $[-1; 1]$, убывает на $[1; +\infty)$. 6. Точка минимума $(-1, -1)$, точка максимума $(1, 1)$. 7. Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной). 8. Функция непрерывна на всей числовой прямой.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

• На промежутке $(-\infty, -1]$ функция задана формулой $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$. При $x=-1$, $y = \frac{1}{(-1)^3} = -1$. Точка $(-1, -1)$ принадлежит этому участку. При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (снизу). График — это ветвь гиперболы, которая начинается в точке $(-1, -1)$ и асимптотически приближается к оси Ox слева.
• На промежутке $(-1, 1]$ функция задана формулой $y = -x^2$. Её график — это часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. На концах промежутка имеем: при $x \to -1$, $y \to -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ не принадлежит этому участку (будет "выколотой"). При $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит этому участку.
• На промежутке $(1, +\infty)$ функция задана формулой $y = x^4$. Её график — это ветвь степенной функции, похожей на параболу, но растущей быстрее. Она начинается в точке $(1, 1)$ (точка "выколотая", так как $x > 1$) и уходит в бесконечность.

Объединяя графики, видим, что в точке $x = -1$ разрыва нет, так как значение функции слева и справа стремится к $-1$. Однако в точке $x = 1$ наблюдается разрыв: предел слева равен $y(1) = -1$, а предел справа равен $\lim_{x\to 1+} x^4 = 1$. Это разрыв первого рода (скачок).

Прочитаем график, перечислив основные свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; 0] \cup (1; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1]$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $(1; +\infty)$.
6. Экстремумы: $x_{min} = -1$, $y_{min} = -1$ (глобальный минимум); $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$ (локальный максимум). Глобального максимума нет.
7. Чётность, нечётность: функция не является ни чётной, ни нечётной.
8. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. В точке $x=1$ имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции построен. Свойства функции: 1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Область значений $E(y) = [-1; 0] \cup (1; +\infty)$. 3. Нуль функции: $x=0$. 4. $y>0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1]$. 5. Функция убывает на $(-\infty; -1]$ и на $[0; 1]$, возрастает на $[-1; 0]$ и на $(1; +\infty)$. 6. Точка минимума $(-1, -1)$, точка локального максимума $(0, 0)$. 7. Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной). 8. Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=1$.