Страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.15 Чему равно $n$, если известно, что график степенной функции $y = x^{-n}$ проходит через заданную точку:

a) $(2; \frac{1}{256});$

б) $(-2; -\frac{1}{32});$

в) $(7; \frac{1}{343});$

г) $(\frac{1}{5}; 625)?$

а)

Для того чтобы найти значение $n$, необходимо подставить координаты заданной точки $(2; \frac{1}{256})$ в уравнение степенной функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = 2$ и $y = \frac{1}{256}$:
$\frac{1}{256} = 2^{-n}$
Используя свойство степени $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, преобразуем правую часть уравнения:
$\frac{1}{256} = \frac{1}{2^n}$
Из этого равенства следует, что знаменатели дробей равны:
$2^n = 256$
Теперь представим число 256 как степень двойки. Мы знаем, что $2^8 = 256$.
$2^n = 2^8$
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны.
$n = 8$

Ответ: $8$.

б)

Подставим координаты точки $(-2; -\frac{1}{32})$ в уравнение функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = -2$ и $y = -\frac{1}{32}$:
$-\frac{1}{32} = (-2)^{-n}$
Используя свойство $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, получаем:
$-\frac{1}{32} = \frac{1}{(-2)^n}$
Из этого равенства выразим $(-2)^n$:
$(-2)^n = \frac{1}{-\frac{1}{32}} = -32$
Теперь необходимо найти, в какую степень нужно возвести $-2$, чтобы получить $-32$. Так как результат отрицательный, показатель степени $n$ должен быть нечетным.
$(-2)^5 = -32$
Значит, мы можем записать:
$(-2)^n = (-2)^5$
Отсюда $n = 5$.

Ответ: $5$.

в)

Подставим координаты точки $(7; \frac{1}{343})$ в уравнение функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = 7$ и $y = \frac{1}{343}$:
$\frac{1}{343} = 7^{-n}$
Перепишем уравнение, используя свойство отрицательной степени:
$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^n}$
Отсюда следует, что:
$7^n = 343$
Представим 343 как степень числа 7. Мы знаем, что $7^3 = 343$.
$7^n = 7^3$
Следовательно, $n = 3$.

Ответ: $3$.

г)

Подставим координаты точки $(\frac{1}{5}; 625)$ в уравнение функции $y = x^{-n}$.
Подставляем $x = \frac{1}{5}$ и $y = 625$:
$625 = (\frac{1}{5})^{-n}$
Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$:
$625 = (\frac{5}{1})^n = 5^n$
Таким образом, мы получили уравнение:
$5^n = 625$
Представим 625 как степень числа 5. Мы знаем, что $5^4 = 625$.
$5^n = 5^4$
Следовательно, $n = 4$.

Ответ: $4$.

13.16 Исследуйте степенную функцию $y = x^{-n}$ на чётность и ограниченность, если известно, что её график проходит через заданную точку:

а) (-1; 1);

б) (-1; -1);

в) (1; 1);

г) (1; -1).

а) (-1; 1)

По условию, график степенной функции $y = x^{-n}$ проходит через точку с координатами $(-1; 1)$. Чтобы найти информацию о показателе $n$, подставим координаты точки в уравнение функции: $1 = (-1)^{-n}$ Это равенство можно записать в виде $1 = \frac{1}{(-1)^n}$, из чего следует, что $(-1)^n = 1$. Для целых чисел $n$ это равенство справедливо только в том случае, если $n$ — чётное число ($n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Исследование на чётность: Поскольку $n$ — чётное число, проверим свойство чётности. Область определения функции $D(y)$ (например, $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ для натуральных $n$) симметрична относительно нуля. $y(-x) = (-x)^{-n} = ((-1) \cdot x)^{-n} = (-1)^{-n} \cdot x^{-n}$. Так как $n$ — чётное, $(-1)^n = 1$, и $(-1)^{-n} = \frac{1}{(-1)^n} = \frac{1}{1} = 1$. Следовательно, $y(-x) = 1 \cdot x^{-n} = x^{-n} = y(x)$. Функция является чётной.

Исследование на ограниченность: Если $n$ — положительное чётное число (например, 2, 4, ...), то функция имеет вид $y = \frac{1}{x^n}$. В этом случае, при $x$, стремящемся к нулю, значение $y$ стремится к $+\infty$. Значит, функция не ограничена сверху. Однако, поскольку $x^n > 0$ для всех $x \neq 0$, то и $y = \frac{1}{x^n} > 0$. Таким образом, функция ограничена снизу (например, числом 0). Если $n=0$, функция $y = x^0 = 1$ является ограниченной. Если $n$ — отрицательное чётное число (например, -2, -4, ...), то $y = x^k$, где $k$ — положительное чётное число. Такая функция также ограничена снизу (её минимум равен 0 при $x=0$), но не ограничена сверху. В общем случае (кроме $n=0$) функция ограничена снизу.

Ответ: функция является чётной и ограниченной снизу.

б) (-1; -1)

График функции $y = x^{-n}$ проходит через точку $(-1; -1)$. Подставляем её координаты в уравнение: $-1 = (-1)^{-n}$ Перепишем равенство: $-1 = \frac{1}{(-1)^n}$, откуда $(-1)^n = -1$. Для целых чисел $n$ это равенство выполняется только если $n$ — нечётное число ($n = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Исследование на чётность: Так как $n$ — нечётное число, $y(-x) = (-x)^{-n} = (-1)^{-n} \cdot x^{-n}$. Поскольку $n$ нечётное, $(-1)^n = -1$, и $(-1)^{-n} = \frac{1}{-1} = -1$. Следовательно, $y(-x) = -1 \cdot x^{-n} = -x^{-n} = -y(x)$. Функция является нечётной.

Исследование на ограниченность: Если $n$ — положительное нечётное число (например, 1, 3, ...), то $y = \frac{1}{x^n}$. При $x \to 0^+$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to 0^-$ значение $y \to -\infty$. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Если $n$ — отрицательное нечётное число (например, -1, -3, ...), то $y = x^k$, где $k$ — положительное нечётное число. Такая функция также не ограничена, так как при $x \to +\infty$ $y \to +\infty$, а при $x \to -\infty$ $y \to -\infty$. Таким образом, функция не является ограниченной.

Ответ: функция является нечётной и не является ограниченной.

в) (1; 1)

График функции $y = x^{-n}$ проходит через точку $(1; 1)$. Подставляем координаты в уравнение: $1 = 1^{-n}$ Так как $1$ в любой действительной степени равен $1$, мы получаем верное тождество $1 = 1$. Это означает, что условие выполняется для любого показателя $n$.

Исследование на чётность: Поскольку из данного условия невозможно определить, является ли $n$ чётным или нечётным числом (или вообще целым), то определить чётность функции невозможно. Например, если $n=2$, функция $y=x^{-2}$ чётная, а если $n=3$, функция $y=x^{-3}$ нечётная. Обе функции проходят через точку (1; 1).

Исследование на ограниченность: Если предположить, что $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. В этом случае $y = \frac{1}{x^n}$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. Значит, функция не ограничена сверху. Таким образом, функция не является ограниченной. (Это верно и для любого другого положительного $n$).

Ответ: чётность определить невозможно, функция не является ограниченной.

г) (1; -1)

График функции $y = x^{-n}$ проходит через точку $(1; -1)$. Подставляем координаты: $-1 = 1^{-n}$ Так как $1$ в любой степени равен $1$, получаем равенство: $-1 = 1$ Это равенство является ложным. Следовательно, не существует степенной функции вида $y = x^{-n}$, график которой проходил бы через данную точку.

Ответ: такой функции не существует.

13.17 Пусть $P$ — наибольшее значение функции $y = \frac{1}{(x + 2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$, а $Q$ — наименьшее значение функции $y = x^8$ на отрезке $[-1; 1]$. Что больше: $P$ или $Q$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение P

Требуется найти наибольшее значение $P$ функции $y = \frac{1}{(x+2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$.

Для нахождения наибольшего значения функции на замкнутом интервале необходимо вычислить значения функции на концах интервала и в критических точках, принадлежащих этому интервалу, а затем выбрать наибольшее из них.

1. Найдем производную функции: $y'(x) = \left( (x+2)^{-5} - 1 \right)' = -5(x+2)^{-6} \cdot (x+2)' = -\frac{5}{(x+2)^6}$.

2. Найдем критические точки. Производная не обращается в ноль, так как числитель $-5 \neq 0$. Производная не определена при $x = -2$, но эта точка не входит в отрезок $[-1; 1]$.

3. Проанализируем знак производной на отрезке $[-1; 1]$. Для любого $x$ из этого отрезка выражение $x+2$ положительно, значит, и $(x+2)^6$ положительно. Следовательно, производная $y'(x) = -\frac{5}{(x+2)^6}$ всегда отрицательна на отрезке $[-1; 1]$.

Это означает, что функция $y(x)$ монотонно убывает на всем отрезке $[-1; 1]$.

4. Для монотонно убывающей функции наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, то есть при $x = -1$.

Вычислим значение функции в этой точке: $P = y(-1) = \frac{1}{(-1+2)^5} - 1 = \frac{1}{1^5} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Ответ: $P = 0$.

Нахождение Q

Требуется найти наименьшее значение $Q$ функции $y = x^8$ на отрезке $[-1; 1]$.

Функция $y(x) = x^8$ — это степенная функция с четным показателем степени. Ее график симметричен относительно оси ординат, и значения функции всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

Наименьшее значение достигается при $x = 0$, так как $y(0) = 0^8 = 0$. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Проверим также значения на концах отрезка: $y(-1) = (-1)^8 = 1$.
$y(1) = 1^8 = 1$.
Сравнивая значения $\{1, 0, 1\}$, видим, что наименьшее из них равно 0.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 0.

Ответ: $Q = 0$.

Сравнение P и Q и графическая иллюстрация

Мы получили, что наибольшее значение функции $y = \frac{1}{(x+2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$ равно $P = 0$, а наименьшее значение функции $y = x^8$ на том же отрезке равно $Q = 0$.

Следовательно, $P = Q$.

Ответ: $P = Q$.

На графике ниже синим цветом показан график функции $y = x^8$, а красным — график функции $y = \frac{1}{(x+2)^5} - 1$ на отрезке $[-1; 1]$.

Точка $P$ — это максимум красного графика на отрезке, она находится в точке $(-1, 0)$.
Точка $Q$ — это минимум синего графика на отрезке, она находится в точке $(0, 0)$.
Как видно из графика, оба значения $P$ и $Q$ равны 0.

13.18 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = x^2 - 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^2}, \\ y = 2 - x^2; \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = x^{-4}, \\ y = 4 - x^4; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^3}, \\ y = x^3 + 3. \end{cases}$

a)

Чтобы найти число решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^{-3} \\ y = x^2 - 4 \end{cases}$, нужно определить количество точек пересечения графиков функций $y = x^{-3}$ и $y = x^2 - 4$. Это эквивалентно нахождению числа действительных корней уравнения $x^{-3} = x^2 - 4$.

Приведем уравнение к целому виду, умножив обе части на $x^3$ (при условии, что $x \neq 0$):

$1 = x^3(x^2 - 4)$

$1 = x^5 - 4x^3$

$x^5 - 4x^3 - 1 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 - 4x^3 - 1$. Число решений системы равно числу корней этого уравнения. Для анализа числа корней найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 - 4x^3 - 1)' = 5x^4 - 12x^2 = x^2(5x^2 - 12)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $x^2(5x^2 - 12) = 0$.

Отсюда $x=0$ или $5x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{12}{5} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{12}{5}}$.

Исследуем поведение функции $f(x)$ на интервалах, определенных критическими точками:

1. При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$.

2. В точке локального максимума $x = -\sqrt{\frac{12}{5}}$, значение функции $f(-\sqrt{\frac{12}{5}}) = (-\sqrt{\frac{12}{5}})^5 - 4(-\sqrt{\frac{12}{5}})^3 - 1 = (-\frac{12}{5})^{\frac{3}{2}}(-\frac{12}{5}+4)-1 = (-\frac{12}{5})^{\frac{3}{2}}(\frac{8}{5})-1$. Это значение положительно, так как $f(-\sqrt{\frac{12}{5}}) = (-\sqrt{\frac{12}{5}})^3((\frac{12}{5})-4)-1 = (-\sqrt{\frac{12}{5}})^3(-\frac{8}{5})-1 > 0$. Поскольку функция непрерывна и переходит от отрицательных значений к положительным, на интервале $(-\infty, -\sqrt{12/5})$ есть один корень.

3. В точке $x=0$, $f(0) = -1$. Так как $f(-\sqrt{12/5})>0$ и $f(0)<0$, на интервале $(-\sqrt{12/5}, 0)$ есть второй корень.

4. В точке локального минимума $x = \sqrt{\frac{12}{5}}$, значение функции $f(\sqrt{\frac{12}{5}}) < 0$.

5. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. Так как $f(\sqrt{12/5})<0$ и при $x \to \infty$ функция уходит в бесконечность, на интервале $(\sqrt{12/5}, +\infty)$ есть третий корень.

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня, что означает, что система имеет три решения.

Ответ: 3.

б)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = \frac{1}{x^2} \\ y = 2 - x^2 \end{cases}$.

Число решений системы равно числу действительных корней уравнения, полученного приравниванием правых частей:

$\frac{1}{x^2} = 2 - x^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} = 2 - t$.

Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$):

$1 = 2t - t^2$.

Перенесем все члены в одну часть:

$t^2 - 2t + 1 = 0$.

Это формула квадрата разности:

$(t - 1)^2 = 0$.

Отсюда получаем единственное решение для $t$: $t=1$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = 1$.

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

в)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^{-4} \\ y = 4 - x^4 \end{cases}$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$x^{-4} = 4 - x^4$ или $\frac{1}{x^4} = 4 - x^4$.

Пусть $t = x^4$. Поскольку $x$ в четной степени, $x^4 > 0$ для любого действительного $x \neq 0$. Значит, $t > 0$.

Уравнение в терминах $t$ выглядит так:

$\frac{1}{t} = 4 - t$.

Умножим на $t$:

$1 = 4t - t^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 4t + 1 = 0$.

Найдем его корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Мы получили два значения для $t$:

$t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Оба корня положительны, так как $\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1. $x^4 = t_1 = 2 + \sqrt{3}$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[4]{2 + \sqrt{3}}$.

2. $x^4 = t_2 = 2 - \sqrt{3}$. Это уравнение также имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[4]{2 - \sqrt{3}}$.

Всего мы получили четыре различных действительных корня для $x$. Следовательно, система имеет четыре решения.

Ответ: 4.

г)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = \frac{1}{x^3} \\ y = x^3 + 3 \end{cases}$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{x^3} = x^3 + 3$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^3$. Переменная $t$ может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} = t + 3$.

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$):

$1 = t^2 + 3t$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 3t - 1 = 0$.

Найдем его корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

$t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Мы получили два различных действительных значения для $t$:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$ и $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$.

Оба корня не равны нулю, поэтому замена корректна.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1. $x^3 = t_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$. Уравнение вида $x^3 = a$ всегда имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[3]{a}$.

2. $x^3 = t_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$. Это уравнение также имеет ровно один действительный корень.

Поскольку мы получили два различных действительных значения для $t=x^3$, существует два различных действительных корня для $x$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

13.19 Не выполняя построения графика функции $y=(x+2)^{-3}-1$, укажите:

а) область определения и область значений функции;

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции;

в) уравнения асимптот;

г) координаты центра симметрии графика функции.

Данная функция $y = (x+2)^{-3} - 1$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{(x+2)^3} - 1$. Её график получается из графика базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$ путем следующих преобразований: сдвиг на 2 единицы влево по оси абсцисс ($Ox$) и сдвиг на 1 единицу вниз по оси ординат ($Oy$). Проанализируем свойства функции, основываясь на этих преобразованиях и виде самой функции.

а) область определения и область значений функции

Область определения $D(y)$: Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель выражения не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $(x+2)^3$. Условие: $(x+2)^3 \neq 0 \implies x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Область значений $E(y)$: Рассмотрим выражение $\frac{1}{(x+2)^3}$. Поскольку числитель равен 1, это выражение никогда не может быть равно нулю. То есть, $\frac{1}{(x+2)^3} \neq 0$. Тогда значение функции $y = \frac{1}{(x+2)^3} - 1$ никогда не может быть равно $0 - 1 = -1$. Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $-1$. $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции

Промежутки монотонности: Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: $y' = \left((x+2)^{-3} - 1\right)' = -3(x+2)^{-4} \cdot (x+2)' = -3(x+2)^{-4} = -\frac{3}{(x+2)^4}$. Знаменатель $(x+2)^4$ всегда положителен для любого $x$ из области определения ($x \neq -2$), так как представляет собой квадрат выражения $(x+2)^2$. Числитель $-3$ является отрицательным числом. Следовательно, производная $y' < 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения. Промежутки убывания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Сначала найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$: $\frac{1}{(x+2)^3} - 1 = 0 \implies \frac{1}{(x+2)^3} = 1 \implies (x+2)^3 = 1 \implies x+2 = 1 \implies x = -1$. Точка разрыва функции $x = -2$ и корень $x = -1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов.

• На интервале $(-\infty; -2)$ возьмем пробную точку $x=-3$: $y(-3) = \frac{1}{(-3+2)^3} - 1 = \frac{1}{-1} - 1 = -2 < 0$.
• На интервале $(-2; -1)$ возьмем пробную точку $x=-1.5$: $y(-1.5) = \frac{1}{(-1.5+2)^3} - 1 = \frac{1}{(0.5)^3} - 1 = \frac{1}{0.125} - 1 = 8 - 1 = 7 > 0$.
• На интервале $(-1; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=0$: $y(0) = \frac{1}{(0+2)^3} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8} < 0$.

Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-2; -1)$, и $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$; $y > 0$ при $x \in (-2; -1)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.

в) уравнения асимптот

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва функции, то есть при $x = -2$. Найдем односторонние пределы: $\lim_{x \to -2^-} \left(\frac{1}{(x+2)^3} - 1\right) = \left[\frac{1}{(-0)^3}\right] - 1 = -\infty - 1 = -\infty$. $\lim_{x \to -2^+} \left(\frac{1}{(x+2)^3} - 1\right) = \left[\frac{1}{(+0)^3}\right] - 1 = +\infty - 1 = +\infty$. Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{(x+2)^3} - 1\right)$. Так как при $x \to \pm\infty$, $(x+2)^3 \to \pm\infty$, то $\frac{1}{(x+2)^3} \to 0$. Следовательно, $\lim_{x \to \pm\infty} y = 0 - 1 = -1$. Прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -2$; горизонтальная асимптота: $y = -1$.

г) координаты центра симметрии графика функции

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ симметричен относительно начала координат, точки $(0; 0)$. График функции $y = \frac{1}{(x+2)^3} - 1$ получен из графика $y = \frac{1}{x^3}$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. При таком преобразовании центр симметрии также смещается. Его новые координаты: $x_c = 0 - 2 = -2$ $y_c = 0 - 1 = -1$ Таким образом, центр симметрии графика находится в точке $(-2; -1)$. Эта точка также является точкой пересечения вертикальной и горизонтальной асимптот.

Ответ: Координаты центра симметрии: $(-2; -1)$.

13.20 Не выполняя построения графика функции $y=(x-1)^2 - 2$, укажите:

а) область определения и область значений функции;

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции;

в) уравнения асимптот;

г) уравнение оси симметрии графика функции.

а) область определения и область значений функции;

Дана функция $y = (x - 1)^{-2} - 2$, которую можно представить в виде $y = \frac{1}{(x-1)^2} - 2$.

Область определения (D(y)): Функция определена для всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Знаменатель $(x-1)^2$ равен нулю при $x=1$. Следовательно, из области определения нужно исключить эту точку. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Область значений (E(y)): Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно. Так как $x \neq 1$, то $(x-1)^2$ всегда строго положительно: $(x-1)^2 > 0$. Следовательно, обратное ему выражение $\frac{1}{(x-1)^2}$ также всегда строго положительно: $\frac{1}{(x-1)^2} > 0$. Тогда для всей функции $y = \frac{1}{(x-1)^2} - 2$ имеем: $y > 0 - 2$, то есть $y > -2$. При этом, когда $x$ стремится к $1$, знаменатель $(x-1)^2$ стремится к $0^+$, а дробь $\frac{1}{(x-1)^2}$ стремится к $+\infty$. Значит, $y$ может принимать сколь угодно большие значения. Когда $x$ стремится к $\pm\infty$, знаменатель $(x-1)^2$ стремится к $+\infty$, а дробь $\frac{1}{(x-1)^2}$ стремится к $0$. Значит, $y$ стремится к $-2$. Таким образом, область значений функции — это все числа, строго большие $-2$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-2; +\infty)$.

б) промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки монотонности: Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции: $y' = ((x-1)^{-2} - 2)' = -2(x-1)^{-3} \cdot (x-1)' = -2(x-1)^{-3} = -\frac{2}{(x-1)^3}$. Исследуем знак производной на интервалах области определения.

• При $x \in (-\infty; 1)$, имеем $x-1 < 0$, тогда $(x-1)^3 < 0$. Производная $y' = -\frac{2}{(-)} > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$.
• При $x \in (1; +\infty)$, имеем $x-1 > 0$, тогда $(x-1)^3 > 0$. Производная $y' = -\frac{2}{(+)} < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(1; +\infty)$.

Промежутки знакопостоянства: Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$: $\frac{1}{(x-1)^2} - 2 = 0 \implies \frac{1}{(x-1)^2} = 2 \implies (x-1)^2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $x-1 = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Нули функции: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точка разрыва $x=1$ и нули функции делят числовую ось на интервалы. Определим знак функции на этих интервалах.

• $y>0$ (функция положительна): $\frac{1}{(x-1)^2} - 2 > 0 \implies \frac{1}{(x-1)^2} > 2 \implies (x-1)^2 < \frac{1}{2}$. Это неравенство равносильно системе $|x-1| < \frac{1}{\sqrt{2}} \implies -\frac{\sqrt{2}}{2} < x-1 < \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 1-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$. Учитывая точку разрыва $x=1$, получаем $x \in (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}; 1) \cup (1; 1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$.
• $y<0$ (функция отрицательна): $\frac{1}{(x-1)^2} - 2 < 0 \implies \frac{1}{(x-1)^2} < 2 \implies (x-1)^2 > \frac{1}{2}$. Это неравенство равносильно $|x-1| > \frac{1}{\sqrt{2}}$, что дает $x-1 > \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем $x > 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$, убывает на промежутке $(1; +\infty)$. Функция положительна ($y>0$) при $x \in (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}; 1) \cup (1; 1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$. Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

в) уравнения асимптот;

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва $x=1$. Найдем пределы функции при $x \to 1$: $\lim_{x \to 1} y(x) = \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{(x-1)^2} - 2\right) = +\infty$, так как $(x-1)^2$ стремится к $0$ с положительной стороны. Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{(x-1)^2} - 2\right) = 0 - 2 = -2$, так как при $x \to \pm\infty$ выражение $(x-1)^2 \to +\infty$ и, соответственно, $\frac{1}{(x-1)^2} \to 0$. Следовательно, прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=1$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

г) уравнение оси симметрии графика функции.

График функции $y = \frac{1}{(x-1)^2} - 2$ получен из графика четной функции $f(x)=\frac{1}{x^2}$ (симметричной относительно оси $Oy$, т.е. прямой $x=0$) путем сдвига на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Горизонтальный сдвиг на 1 единицу вправо смещает и ось симметрии на 1 единицу вправо. Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной оси симметрии. Таким образом, осью симметрии для данного графика является прямая $x=1$.

Ответ: $x=1$.