Страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.27 Постройте график уравнения:

a) $(\sqrt[3]{x} + y)(x^3 - y) = 0;$

б) $(2\sqrt[3]{x} - y)(x^2 + y^2 - 4) = 0;$

в) $(\sqrt[3]{x+1} - y)(xy - 4) = 0;$

г) $(x^{-2} + y)(2y + \sqrt[3]{x}) = 0.$

а) $(\sqrt[3]{x} + y)(x^3 - y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. В данном случае оба множителя определены для любых действительных значений $x$ и $y$.

Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности (объединению) двух уравнений:

$\sqrt[3]{x} + y = 0$ или $x^3 - y = 0$.

1. Графиком уравнения $\sqrt[3]{x} + y = 0$, которое можно переписать как $y = -\sqrt[3]{x}$, является график функции кубического корня, симметрично отраженный относительно оси абсцисс (оси Ox).

2. Графиком уравнения $x^3 - y = 0$, которое можно переписать как $y = x^3$, является кубическая парабола.

Таким образом, искомый график — это объединение графика функции $y = -\sqrt[3]{x}$ и кубической параболы $y = x^3$. Оба графика проходят через начало координат (0, 0).

Ответ: График уравнения является объединением графиков двух функций: $y = -\sqrt[3]{x}$ и $y = x^3$.

б) $(2\sqrt[3]{x} - y)(x^2 + y^2 - 4) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений, так как оба множителя определены для любых $x$ и $y$:

$2\sqrt[3]{x} - y = 0$ или $x^2 + y^2 - 4 = 0$.

1. Уравнение $2\sqrt[3]{x} - y = 0$ можно переписать в виде $y = 2\sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня, растянутый в 2 раза вдоль оси ординат (оси Oy).

2. Уравнение $x^2 + y^2 - 4 = 0$ можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 4$ или $x^2 + y^2 = 2^2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R=2$.

Искомый график является объединением графика функции $y = 2\sqrt[3]{x}$ и окружности $x^2 + y^2 = 4$.

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = 2\sqrt[3]{x}$ и окружности с центром в начале координат и радиусом 2.

в) $(\sqrt[3]{x+1} - y)(xy - 4) = 0$

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений, так как оба множителя определены для любых $x$ и $y$:

$\sqrt[3]{x+1} - y = 0$ или $xy - 4 = 0$.

1. Уравнение $\sqrt[3]{x+1} - y = 0$ можно записать как $y = \sqrt[3]{x+1}$. Это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

2. Уравнение $xy - 4 = 0$ можно записать как $y = \frac{4}{x}$ (при $x \neq 0$). Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат $x=0$ и $y=0$.

Искомый график является объединением графика функции $y = \sqrt[3]{x+1}$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$.

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = \sqrt[3]{x+1}$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$.

г) $(x^{-2} + y)(2y + \sqrt[3]{x}) = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $x^{-2}$ равно $\frac{1}{x^2}$, поэтому оно определено для всех $x$, кроме $x=0$. Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех $x$. Таким образом, ОДЗ для всего уравнения: $x \neq 0$.

На этой области уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x^{-2} + y = 0$ или $2y + \sqrt[3]{x} = 0$.

1. Уравнение $x^{-2} + y = 0$ можно переписать в виде $y = -x^{-2}$ или $y = -\frac{1}{x^2}$. График этой функции симметричен относительно оси ординат и расположен в III и IV координатных четвертях, так как $y$ всегда отрицателен. Оси координат являются асимптотами.

2. Уравнение $2y + \sqrt[3]{x} = 0$ можно переписать в виде $2y = -\sqrt[3]{x}$, то есть $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня, отраженный относительно оси абсцисс и сжатый в 2 раза вдоль оси ординат. Поскольку ОДЗ исходного уравнения требует $x \neq 0$, точка (0, 0), которая формально принадлежит графику $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$, должна быть исключена (изображается "выколотой" точкой).

Искомый график является объединением графика функции $y = -\frac{1}{x^2}$ и графика функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$ с выколотой точкой в начале координат (0, 0).

Ответ: График уравнения является объединением графика функции $y = -\frac{1}{x^2}$ (при $x \neq 0$) и графика функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$ с выколотой точкой (0, 0).

14.28 Решите графически систему неравенств:

a) $\begin{cases} x + y > 2, \\ y - \sqrt[3]{x} > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy + 1 \ge 0, \\ y - \sqrt[3]{x} \le 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + y > 2 \\ y - \sqrt[3]{x} > 0 \end{cases} $

Для графического решения преобразуем систему, выразив $y$ в каждом неравенстве:

$ \begin{cases} y > -x + 2 \\ y > \sqrt[3]{x} \end{cases} $

Теперь построим на координатной плоскости области, соответствующие каждому неравенству, и найдем их пересечение.

1. Границей для первого неравенства $y > -x + 2$ является прямая $y = -x + 2$. Эта прямая проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой прямой не являются решением, и линия изображается пунктиром. Решением неравенства является полуплоскость, расположенная выше этой прямой.

2. Границей для второго неравенства $y > \sqrt[3]{x}$ является кривая $y = \sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня, проходящий через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$. Неравенство также строгое, поэтому кривая изображается пунктиром. Решением является область, расположенная выше этой кривой.

3. Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые лежат одновременно и выше прямой, и выше кривой. Для определения формы итоговой области найдем точку пересечения границ $y = -x + 2$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Решая уравнение $\sqrt[3]{x} = -x + 2$, подбором находим корень $x=1$. При $x=1$, $y = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Область решений системы — это множество точек $(x, y)$, которые удовлетворяют условию $y > \max(-x + 2, \sqrt[3]{x})$. Графически это область, ограниченная снизу "верхней огибающей" двух графиков: частью прямой $y = -x + 2$ для $x < 1$ и частью кривой $y = \sqrt[3]{x}$ для $x > 1$. Обе части границы являются пунктирными.

Ответ: Решением системы является множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, расположенных одновременно выше прямой $y = -x + 2$ и выше кривой $y = \sqrt[3]{x}$. Границы областей (пунктирные линии) в решение не входят.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} xy + 1 \ge 0 \\ y - \sqrt[3]{x} \le 0 \end{cases} $

Преобразуем систему к виду:

$ \begin{cases} xy \ge -1 \\ y \le \sqrt[3]{x} \end{cases} $

Решим систему графически.

1. Границей для первого неравенства $xy \ge -1$ является кривая $xy = -1$, или $y = -1/x$. Это гипербола с ветвями во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки на гиперболе являются решением, и она изображается сплошной линией. Чтобы определить область решения, рассмотрим разные случаи. Если $x > 0$, неравенство принимает вид $y \ge -1/x$, что соответствует области, лежащей на и выше ветви гиперболы в IV четверти. Если $x < 0$, неравенство принимает вид $y \le -1/x$, то есть это область, лежащая на и ниже ветви гиперболы во II четверти. Если $x = 0$, неравенство $0 \ge -1$ является верным, поэтому вся ось ординат ($Oy$) также входит в решение. Таким образом, решением первого неравенства является область между ветвями гиперболы, включая сами ветви и ось $Oy$.

2. Границей для второго неравенства $y \le \sqrt[3]{x}$ является кривая $y = \sqrt[3]{x}$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому кривая изображается сплошной линией. Решением является область, расположенная на или ниже этой кривой.

3. Решением системы является пересечение найденных областей. Это множество точек, которые одновременно находятся между ветвями гиперболы $y = -1/x$ (или на них) и на или ниже кривой $y = \sqrt[3]{x}$. Границы $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=-1/x$ не пересекаются (уравнение $\sqrt[3]{x} = -1/x$ не имеет действительных корней). Таким образом, искомая область ограничена сверху кривой $y = \sqrt[3]{x}$ и с боков (слева для $x<0$ и справа для $x>0$) ветвями гиперболы $y=-1/x$.

Ответ: Решением системы является множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, которые лежат на или ниже графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ и одновременно удовлетворяют условию $xy \ge -1$. Графически это область, ограниченная сверху сплошной линией $y = \sqrt[3]{x}$, а по бокам — сплошными линиями ветвей гиперболы $y = -1/x$. Все граничные линии и ось $Oy$ включаются в решение.

1 Найдите область определения функции $y = \frac{3}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция $y = \frac{3}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$ определена, если выполняются два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным (так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа): $x^2 + 4x - 12 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю (так как на ноль делить нельзя): $\sqrt{x^2 + 4x - 12} \neq 0$.

Объединение этих двух условий дает одно строгое неравенство:

$x^2 + 4x - 12 > 0$

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Корни уравнения $x=-6$ и $x=2$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как коэффициент при $x^2$ в трехчлене $x^2 + 4x - 12$ положителен ($a=1 > 0$), то ветви параболы $y = x^2 + 4x - 12$ направлены вверх. Это означает, что трехчлен принимает положительные значения вне интервала между корнями, то есть при $x < -6$ и при $x > 2$.

Таким образом, область определения функции задается объединением интервалов $(-\infty; -6)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

2 Придумайте аналитически заданную функцию $y = f(x)$, для которой $D(f) = (5; 7)$.

Чтобы найти функцию $y = f(x)$, область определения которой $D(f)$ является интервалом $(5; 7)$, необходимо использовать такие математические операции, которые накладывают ограничения на значения переменной $x$. Чаще всего для этого используют логарифмы (аргумент должен быть строго больше нуля) или квадратные корни (подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Рассмотрим несколько способов.

Способ 1: Использование логарифмической функции

Область определения функции $y = \log_a(g(x))$ задается неравенством $g(x) > 0$. Нам нужно придумать такую функцию $g(x)$, которая положительна только при $x \in (5; 7)$.

Для этого можно использовать квадратичную функцию, корни которой равны 5 и 7. Функция $g(x) = (x-5)(x-7)$ является параболой с ветвями вверх, она отрицательна между корнями. Нам же нужно, чтобы выражение было положительным. Для этого возьмем функцию с противоположным знаком: $g(x) = -(x-5)(x-7)$. Это парабола с ветвями вниз, и она будет положительна как раз на интервале между корнями $(5; 7)$.

Раскроем скобки: $g(x) = -(x^2 - 7x - 5x + 35) = -x^2 + 12x - 35$.

Теперь используем это выражение в качестве аргумента логарифма, например, натурального логарифма ($\ln$). Искомая функция может иметь вид: $f(x) = \ln(-x^2 + 12x - 35)$.

Ее область определения находится из условия: $-x^2 + 12x - 35 > 0$. Решением этого неравенства является интервал $(5; 7)$.

Ответ: $y = \ln(-x^2 + 12x - 35)$.

Способ 2: Использование суммы логарифмических функций

Интервал $(5; 7)$ можно представить как пересечение двух условий: $x > 5$ и $x < 7$. Каждое из этих неравенств можно использовать для построения функции:

1. Неравенство $x > 5$ эквивалентно $x - 5 > 0$. Функция $y_1 = \ln(x-5)$ определена при $x \in (5; +\infty)$.

2. Неравенство $x < 7$ эквивалентно $7 - x > 0$. Функция $y_2 = \ln(7-x)$ определена при $x \in (-\infty; 7)$.

Область определения суммы функций $y = y_1 + y_2$ есть пересечение их областей определения. В нашем случае это пересечение интервалов $(5; +\infty)$ и $(-\infty; 7)$, что и дает искомый интервал $(5; 7)$.

Таким образом, еще одним примером является функция: $f(x) = \ln(x-5) + \ln(7-x)$.

(Заметим, что по свойству логарифмов эта функция равна $\ln((x-5)(7-x)) = \ln(-x^2+12x-35)$, что совпадает с функцией из первого способа).

Ответ: $y = \ln(x-5) + \ln(7-x)$.

Способ 3: Использование иррациональной функции (квадратного корня)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным ($\ge 0$). Если же корень находится в знаменателе дроби, то подкоренное выражение должно быть строго положительным ($> 0$), что в точности соответствует нашему требованию.

Возьмем то же выражение, что и в первом способе: $g(x) = -x^2 + 12x - 35$. Мы уже установили, что оно положительно на интервале $(5; 7)$.

Теперь сконструируем функцию, поместив корень из этого выражения в знаменатель: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 12x - 35}}$.

Область определения этой функции задается строгим неравенством $-x^2 + 12x - 35 > 0$, решением которого является интервал $(5; 7)$.

Ответ: $y = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 12x - 35}}$.

3 Функция $y = f(x)$ задана на множестве $X$ всех двузначных натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ из $X$ ставится в соответствие целая часть квадратного корня из числа $x$. Найдите область значений данной функции.

По условию, функция $y = f(x)$ задана на множестве $X$ всех двузначных натуральных чисел. Область определения функции $X$ — это множество целых чисел от 10 до 99 включительно. Таким образом, для аргумента $x$ выполняется неравенство: $10 \le x \le 99$.

Правило функции состоит в том, что каждому $x$ из $X$ ставится в соответствие целая часть его квадратного корня. Это можно записать формулой $y = [\sqrt{x}]$, где $[a]$ — целая часть числа $a$. Нам необходимо найти область значений функции, то есть все возможные значения, которые может принимать $y$.

Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, для нахождения наименьшего и наибольшего значений $y$ достаточно рассмотреть наименьшее и наибольшее значения аргумента $x$.

1. Найдем наименьшее значение функции.
Наименьшее значение $x$ в области определения равно 10.
$y_{min} = f(10) = [\sqrt{10}]$.
Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.
Следовательно, целая часть от $\sqrt{10}$ равна 3.
$y_{min} = 3$.

2. Найдем наибольшее значение функции.
Наибольшее значение $x$ в области определения равно 99.
$y_{max} = f(99) = [\sqrt{99}]$.
Так как $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$, то $9 < \sqrt{99} < 10$.
Следовательно, целая часть от $\sqrt{99}$ равна 9.
$y_{max} = 9$.

Мы установили, что все значения функции лежат в диапазоне от 3 до 9. Теперь нужно убедиться, что функция принимает все целые значения в этом диапазоне.
Функция $g(x) = \sqrt{x}$ непрерывна и возрастает на отрезке $[10, 99]$. Это означает, что $\sqrt{x}$ принимает все действительные значения от $\sqrt{10} \approx 3.16$ до $\sqrt{99} \approx 9.95$. Следовательно, целая часть $[\sqrt{x}]$ будет принимать все целые значения от $[\sqrt{10}]=3$ до $[\sqrt{99}]=9$.
Например:

• При $x = 16$, $f(16) = [\sqrt{16}] = 4$.
• При $x = 25$, $f(25) = [\sqrt{25}] = 5$.
• При $x = 36$, $f(36) = [\sqrt{36}] = 6$.
• При $x = 49$, $f(49) = [\sqrt{49}] = 7$.
• При $x = 64$, $f(64) = [\sqrt{64}] = 8$.
• При $x = 81$, $f(81) = [\sqrt{81}] = 9$.

Все указанные значения $x$ (16, 25, 36, 49, 64, 81) являются двузначными числами и входят в область определения функции.

Таким образом, область значений функции $E(f)$ — это множество всех целых чисел от 3 до 9 включительно.

Ответ: $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

4 Используя свойства числовых неравенств, исследуйте на монотонность функцию $y = 3x^3 + 4x + 5$, $x \in [0; +\infty)$.

Для исследования функции на монотонность на заданном промежутке воспользуемся определением. Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Заданная функция $y = 3x^3 + 4x + 5$ рассматривается на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

Выберем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения $[0; +\infty)$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Это означает, что выполняется неравенство $0 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2^3 + 4x_2 + 5) - (3x_1^3 + 4x_1 + 5)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые:

$f(x_2) - f(x_1) = 3x_2^3 - 3x_1^3 + 4x_2 - 4x_1 + 5 - 5 = 3(x_2^3 - x_1^3) + 4(x_2 - x_1)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к выражению $x_2^3 - x_1^3$:

$f(x_2) - f(x_1) = 3(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4(x_2 - x_1)$

Вынесем общий множитель $(x_2 - x_1)$ за скобки:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1) \cdot [3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4]$

Теперь, используя свойства числовых неравенств, оценим знак каждого множителя в полученном произведении:

1. Первый множитель $(x_2 - x_1)$. Так как по условию мы выбрали $x_2 > x_1$, то их разность строго положительна: $x_2 - x_1 > 0$.

2. Второй множитель $[3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4]$. Так как $0 \le x_1 < x_2$, то $x_1 \ge 0$ и $x_2 > 0$. Оценим выражение в круглых скобках:

• $x_1^2 \ge 0$
• $x_2^2 > 0$ (так как $x_2 > 0$)
• $x_1x_2 \ge 0$ (произведение неотрицательного и положительного чисел)

Сумма этих трех слагаемых $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ будет строго положительной, так как как минимум одно слагаемое ($x_2^2$) строго больше нуля, а остальные неотрицательны: $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 > 0$.
Умножая это положительное выражение на 3, мы также получаем положительное число: $3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) > 0$.
Прибавляя к положительному числу 4, получаем число, которое еще больше: $3(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) + 4 > 4$.
Следовательно, второй множитель также строго положителен.

Таким образом, разность $f(x_2) - f(x_1)$ равна произведению двух строго положительных выражений. Произведение двух положительных чисел всегда положительно. Значит, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Согласно определению, это означает, что функция является возрастающей на данном промежутке.

Ответ: Функция $y = 3x^3 + 4x + 5$ является возрастающей на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

5 Дана функция $y=f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x - 1, \text{ если } x \le 0; \\ h(x), \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Задайте $h(x)$, если известно, что $y=f(x)$ является чётной функцией.

По определению, функция $y=f(x)$ является чётной, если её область определения симметрична относительно начала координат и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

В данном случае функция $f(x)$ определена на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.

Нам необходимо найти вид функции $h(x)$, которая определяет $f(x)$ при $x > 0$. Для этого воспользуемся свойством чётности $f(x) = f(-x)$.

Рассмотрим произвольное значение $x > 0$.

Для такого $x$ значение функции, согласно условию, равно $f(x) = h(x)$.

Теперь найдём значение функции в точке $-x$. Так как $x > 0$, то $-x < 0$. Для отрицательных значений аргумента функция задаётся формулой $f(x) = 2x - 1$. Чтобы найти $f(-x)$, подставим $-x$ в эту формулу:

$f(-x) = 2(-x) - 1 = -2x - 1$.

Поскольку функция $f(x)$ чётная, то должно выполняться равенство $f(x) = f(-x)$. Приравниваем полученные выражения:

$h(x) = -2x - 1$.

Данное выражение для $h(x)$ справедливо при $x > 0$, как и требовалось в условии задачи.

Ответ: $h(x) = -2x - 1$.