Номер 3, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3 Функция $y = f(x)$ задана на множестве $X$ всех двузначных натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ из $X$ ставится в соответствие целая часть квадратного корня из числа $x$. Найдите область значений данной функции.

По условию, функция $y = f(x)$ задана на множестве $X$ всех двузначных натуральных чисел. Область определения функции $X$ — это множество целых чисел от 10 до 99 включительно. Таким образом, для аргумента $x$ выполняется неравенство: $10 \le x \le 99$.

Правило функции состоит в том, что каждому $x$ из $X$ ставится в соответствие целая часть его квадратного корня. Это можно записать формулой $y = [\sqrt{x}]$, где $[a]$ — целая часть числа $a$. Нам необходимо найти область значений функции, то есть все возможные значения, которые может принимать $y$.

Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, для нахождения наименьшего и наибольшего значений $y$ достаточно рассмотреть наименьшее и наибольшее значения аргумента $x$.

1. Найдем наименьшее значение функции.
Наименьшее значение $x$ в области определения равно 10.
$y_{min} = f(10) = [\sqrt{10}]$.
Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.
Следовательно, целая часть от $\sqrt{10}$ равна 3.
$y_{min} = 3$.

2. Найдем наибольшее значение функции.
Наибольшее значение $x$ в области определения равно 99.
$y_{max} = f(99) = [\sqrt{99}]$.
Так как $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$, то $9 < \sqrt{99} < 10$.
Следовательно, целая часть от $\sqrt{99}$ равна 9.
$y_{max} = 9$.

Мы установили, что все значения функции лежат в диапазоне от 3 до 9. Теперь нужно убедиться, что функция принимает все целые значения в этом диапазоне.
Функция $g(x) = \sqrt{x}$ непрерывна и возрастает на отрезке $[10, 99]$. Это означает, что $\sqrt{x}$ принимает все действительные значения от $\sqrt{10} \approx 3.16$ до $\sqrt{99} \approx 9.95$. Следовательно, целая часть $[\sqrt{x}]$ будет принимать все целые значения от $[\sqrt{10}]=3$ до $[\sqrt{99}]=9$.
Например:

• При $x = 16$, $f(16) = [\sqrt{16}] = 4$.
• При $x = 25$, $f(25) = [\sqrt{25}] = 5$.
• При $x = 36$, $f(36) = [\sqrt{36}] = 6$.
• При $x = 49$, $f(49) = [\sqrt{49}] = 7$.
• При $x = 64$, $f(64) = [\sqrt{64}] = 8$.
• При $x = 81$, $f(81) = [\sqrt{81}] = 9$.

Все указанные значения $x$ (16, 25, 36, 49, 64, 81) являются двузначными числами и входят в область определения функции.

Таким образом, область значений функции $E(f)$ — это множество всех целых чисел от 3 до 9 включительно.

Ответ: $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.