Номер 2, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2 Придумайте аналитически заданную функцию $y = f(x)$, для которой $D(f) = (5; 7)$.

Чтобы найти функцию $y = f(x)$, область определения которой $D(f)$ является интервалом $(5; 7)$, необходимо использовать такие математические операции, которые накладывают ограничения на значения переменной $x$. Чаще всего для этого используют логарифмы (аргумент должен быть строго больше нуля) или квадратные корни (подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Рассмотрим несколько способов.

Способ 1: Использование логарифмической функции

Область определения функции $y = \log_a(g(x))$ задается неравенством $g(x) > 0$. Нам нужно придумать такую функцию $g(x)$, которая положительна только при $x \in (5; 7)$.

Для этого можно использовать квадратичную функцию, корни которой равны 5 и 7. Функция $g(x) = (x-5)(x-7)$ является параболой с ветвями вверх, она отрицательна между корнями. Нам же нужно, чтобы выражение было положительным. Для этого возьмем функцию с противоположным знаком: $g(x) = -(x-5)(x-7)$. Это парабола с ветвями вниз, и она будет положительна как раз на интервале между корнями $(5; 7)$.

Раскроем скобки: $g(x) = -(x^2 - 7x - 5x + 35) = -x^2 + 12x - 35$.

Теперь используем это выражение в качестве аргумента логарифма, например, натурального логарифма ($\ln$). Искомая функция может иметь вид: $f(x) = \ln(-x^2 + 12x - 35)$.

Ее область определения находится из условия: $-x^2 + 12x - 35 > 0$. Решением этого неравенства является интервал $(5; 7)$.

Ответ: $y = \ln(-x^2 + 12x - 35)$.

Способ 2: Использование суммы логарифмических функций

Интервал $(5; 7)$ можно представить как пересечение двух условий: $x > 5$ и $x < 7$. Каждое из этих неравенств можно использовать для построения функции:

1. Неравенство $x > 5$ эквивалентно $x - 5 > 0$. Функция $y_1 = \ln(x-5)$ определена при $x \in (5; +\infty)$.

2. Неравенство $x < 7$ эквивалентно $7 - x > 0$. Функция $y_2 = \ln(7-x)$ определена при $x \in (-\infty; 7)$.

Область определения суммы функций $y = y_1 + y_2$ есть пересечение их областей определения. В нашем случае это пересечение интервалов $(5; +\infty)$ и $(-\infty; 7)$, что и дает искомый интервал $(5; 7)$.

Таким образом, еще одним примером является функция: $f(x) = \ln(x-5) + \ln(7-x)$.

(Заметим, что по свойству логарифмов эта функция равна $\ln((x-5)(7-x)) = \ln(-x^2+12x-35)$, что совпадает с функцией из первого способа).

Ответ: $y = \ln(x-5) + \ln(7-x)$.

Способ 3: Использование иррациональной функции (квадратного корня)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным ($\ge 0$). Если же корень находится в знаменателе дроби, то подкоренное выражение должно быть строго положительным ($> 0$), что в точности соответствует нашему требованию.

Возьмем то же выражение, что и в первом способе: $g(x) = -x^2 + 12x - 35$. Мы уже установили, что оно положительно на интервале $(5; 7)$.

Теперь сконструируем функцию, поместив корень из этого выражения в знаменатель: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 12x - 35}}$.

Область определения этой функции задается строгим неравенством $-x^2 + 12x - 35 > 0$, решением которого является интервал $(5; 7)$.

Ответ: $y = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 12x - 35}}$.